Задача М669‍‍

а) Поскольку $\widehat{NMP}=\dfrac14 (\uduga{BC}+\uduga{CD})=\dfrac12\widehat{A}$‍,‍ $\widehat{MNQ}=\dfrac14(\uduga{AB}+\uduga{AD})=\dfrac12\widehat{C}$‍‍ (рис. 1), $$\widehat{NMP}+\widehat{MNQ}=\dfrac12(\widehat{A}+\widehat{C})=90^\circ,$$ откуда следует утверждение а).

б) Очевидно, $O_1=[AN]\cap[CM]$‍,‍ $O_2=[BP]\cap[DN]$‍,‍ $O_3=[AP]\cap[CQ]$‍,‍ $O_4=[BQ]\cap[DM]$‍‍ — центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники $ABC$‍,‍ $BCD$‍,‍ $CDA$‍‍ и $DAB$‍‍ (рис. 2).

Треугольники $BMN$‍‍ и $MO_1N$‍‍ конгруэнтны, так что $|BN|=|NO_1|$‍.‍ Аналогично, $|CN|=|NO_2|$‍.‍ Но $|BN|=|CN|$‍;‍ следовательно, треугольник $O_1NO_2$‍‍ — равнобедренный, в котором $[NQ]$‍‍ является биссектрисой. Поэтому $[NQ]\perp[O_1O_2]$‍;‍ значит, $[O_1O_2]\parallel[MP]$‍.‍

Аналогично доказывается, что $[O_3O_4]\parallel[MP]$‍‍ и $[O_1O_4]\parallel[NQ]\parallel[O_2O_3]$‍.‍ Таким образом, четырёх­угольник $O_1O_2O_3O_4$‍‍ — прямоугольник.