Задачник «Кванта» / Квант. — 1978. — № 7 / 1978 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1978. — № 7. — С. 33—39, 49, 59—60.

В этом и следующих номерах «Задачник «Кванта» составлен в основном из задач, предлагавшихся на последней Всесоюзной олимпиаде.

Открыть в номере

Задачи М511‍—‍М515; Ф523‍—‍Ф527 Задачи М511—М515; Ф523—Ф527 // Квант. — 1978. — № 7. — С. 33—34.

Задача М511
Внутри четырёхугольника $ABCD$‍‍ отмечена точка $M$‍‍ такая, что $ABMD$‍‍ — параллелограмм. Докажите, что если $\widehat{CBM}=\widehat{CDM}$‍,‍ то $\widehat{ACD}=\widehat{CDM}$‍.‍
Задача М512
Пусть $f(x)=x^3-x+1$‍.‍ Докажите, что для любого натурального $m\gt1$‍‍ числа $m$‍,‍ $f(m)$‍,‍ $f(f(m))$‍,‍ $f(f(f(m)))$‍,‍ $\ldots$‍‍ попарно взаимно просты.
Задача М513
Докажите, что существует такое число $A$‍,‍ что в график функции $y = A \sin x$‍‍ можно вписать не менее 1978 попарно неконгруэнтных квадратов. (Квадрат называется вписанным, если все его вершины принадлежат графику.)
Задача М514
Докажите, что существует такая бесконечная ограниченная последовательность $\{x_n\}$‍,‍ что для любых различных $m$‍‍ и $k$‍‍ выполнено неравенство $$ |x_m-x_k|\ge|m-k|^{-1}. $$
Задача М515
Задано конечное множество $K_0$‍.‍ К нему добавляются все точки, которые можно получить симметричным отражением одной точки этого множества относительно другой. Полученное множество обозначается $K_1$‍.‍ Аналогично из множества $K_1$‍‍ получается $K_2$‍,‍…
Задача Ф523
Текст задачи готовится
Задача Ф524
Текст задачи готовится
Задача Ф525
Текст задачи готовится
Задача Ф526
Текст задачи готовится
Задача Ф527
Текст задачи готовится

Решения задач М461‍—‍М464; Ф478‍—‍Ф481 Решения задач М461—М464; Ф478—Ф481 // Квант. — 1978. — № 7. — С. 35—39.

Задача М461
На столе стоят чашечные весы и $n$‍‍ гирь различных масс. Гири по очереди ставятся на чашки весов (на каждом шаге со стола берётся любая гиря и добавляется на ту или другую чашку весов).
1. Докажите, что гири можно ставить в таком порядке, чтобы…
Задача М462
Плоскость пересекает боковые рёбра правильной четырёхугольной пирамиды в точках, отстоящих от вершины на расстояния $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ и $d$‍‍ (рис. 1). Докажите, что $$\dfrac1a+\dfrac1c=\dfrac1b+\dfrac1d.$$
Задача М463
Даны натуральные числа $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $x_m$‍,‍ $y_1$‍,‍ $y_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $y_n$‍.‍ Суммы $x_1+x_2+\ldots+x_m$‍‍ и $y_1+y_2+\ldots+y_n$‍‍ равны между собой и меньше $mn$‍.‍ Докажите, что в…
Задача М464
На плоскости дано 1000 квадратов со сторонами, параллельными осям координат. Пусть $M$‍‍ — множество центров этих квадратов. Докажите, что можно отметить часть квадратов так, чтобы каждая точка множества $M$‍‍ попала не менее, чем в один и не более, чем в четыре…
Задача Ф478
Текст задачи готовится
Задача Ф479
Текст задачи готовится
Задача Ф480
Корабль приводится в движение водомётным двигателем, выбрасывающим с кормы струю воды со скоростью $\overrightarrow{u}$‍.‍ Ежесекундно выбрасывается масса воды $\mu$‍,‍ которая берётся из реки. При каком значении скорости корабля к. п. д. двигателя максимален? Силой трения и сопротивлением…
Задача Ф481
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1978. — № 7. — С. 33—39, 49, 59—60.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1978
Номер: 7
Страницы: 33—39, 49, 59—60
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1978. — № 7. — С. 33‍—‍39, 49, 59‍—‍60.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1978/7/zadachnik_kvanta-ab7724fb/
Полный текст: опубликован 08.03.2026

Задачник «Кванта» (1978, № 7)Задачник «Кванта» // Квант. — 1978. — № 7. — С. 33‍—‍39, 49, 59‍—‍60.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1978. — № 7. — С. 33—39, 49, 59—60.

Задачи М511‍—‍М515; Ф523‍—‍Ф527 Задачи М511—М515; Ф523—Ф527 // Квант. — 1978. — № 7. — С. 33—34.

Решения задач М461‍—‍М464; Ф478‍—‍Ф481 Решения задач М461—М464; Ф478—Ф481 // Квант. — 1978. — № 7. — С. 35—39.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1978. — № 7. — С. 33—39, 49, 59—60.