Изображения страниц
Текст статьи Штеренберг М. Задачи «Последние цифры» // Квант. — 1977. — № 8. — С. 26.
Пусть число
$a$ не лелится ни на 2, ни на 5.Доказать, что при возведении числа
$A=a^{5\cdot10^{n-2}}$ в натуральную степень последние его$n$ цифр не изменятся($n\ge4$, $a\in\N$). Пусть число
$b$ не делится на 2, но делится на 5.- Доказать, что при возведении числа
$B=b^{2^{n-1}}$ ($n\in\N$) в натуральную степень последние его$n$ цифр не изменятся. - Пусть
$r$, $q$, $n\in\N$, $r\ge n$. Доказать, что последние$n$ цифр выражений$b^{2^{n-1}q+r}$ и$b^r$ соответственно равны.
- Доказать, что при возведении числа
Пусть число
$c$ делится на 2, но не делится на 5.- Доказать, что при возведении числа
$C=c^{4\cdot5^{n-1}}$ в натуральную степень последние его$n$ цифр не изменятся. - Пусть
$r$, $q$, $n\in\N$, $r\ge n$. Доказать, что последние$n$ цифр выражений$c^{4\cdot5^{n-1}q+r}$ и$c^r$ соответственно равны.
- Доказать, что при возведении числа
- Пусть
$m\in\N$. Доказать, что при возведении числа$M=m^{10^{n+1}}$ в натуральную степень последние его$n$ цифр не изменятся. - Найдите три последние цифры выражения
$3^{105}-4^{105}$. - Докажите, что разность
$3^{999}-2^{999}$ оканчивается цифрами 1979. - Докажите, что если выражение
$$
11^{10^{\scriptstyle9^{\scriptstyle8^{\scriptstyle7}}}}-
6^{5^{\scriptstyle4^{\scriptstyle3^{\scriptstyle2}}}}
$$
возвести в любую натуральную степень, то более
$200\,000$ его последних цифр не изменятся. - Докажите, что при любом натуральном
$n$ разность $$ n^{\scriptstyle n^{\scriptstyle n^{\scriptstyle n^{\scriptstyle n^{\scriptstyle n}}}}}- n^{\scriptstyle n^{\scriptstyle n^{\scriptstyle n}}} $$ делится на сто. - Найдите семь последних цифр числа $$ 999^{\scriptstyle999^{\scriptstyle99^{\scriptstyle9}}}. $$
- В книге М. Гарднера «Математические новеллы» (М.: Мир, 1974) на странице 349 приведены 3376 цифр двадцать третьего числа Мерсенна
$2^{11213}-1$, отпечатанного ЭВМ Университета штата Иллинойс. Последние его десять цифр таковы: 7696398191. «Математический факультет университета был так горд открытием23-го числа Мерсенна, что ставил на конвертах специальный штемпель, извещающий об этом событии», — сказано в книге. Однако четвёртая от конца цифра выдана неверно. Доказать, что это число должно кончаться цифрами 2191, а не 8191.
Примечание. Эти задачи связаны с автоморфными числами (см. «Квант», 1971, №10, с. 39; 1973, №1, с. 33 и 1973, №7, с. 55).