Бахмин В. И.

Автоморфные числаБахмин В. И. Автоморфные числа // Квант. — 1973. — № 1. — С. 33.‍‍

Вы слышали что-нибудь об автоморфных числах? Это числа, которые вновь появляются на конце своих квадратов. Некоторые из таких чисел хорошо вам знакомы: 5 ($5\cdot5=25$‍),‍ 6 ($6\cdot6=36$‍),‍ 25 ($25\cdot25=625$‍).‍ Однознаҹных автоморфных чисел всего два: 5 и 6. Двузначных — тоже два: 25 и 76. Трёхзначные автоморфные числа — 625 и 376. Оказывается, автоморфные числа более высокого порядка получаются из автоморфных чисел предыдущего порядка, если к ним дописать спереди одну цифру (которая, правда, может быть нулём, поэтому четырёхзначное автоморфное число только одно: 9376, а 90625 — единственное патизначное автоморфное число).

Автоморфные числа могут быть сколь угодно большими. Вот, например, 100-значное автоморфное число: 3 953 007 319 108 169 802 938 509 890 062 166 509 580 863 811 000 557 423 423 230 896 109 004 106 619 977 392 256 259 918 212 890 625.

Это число было обнаружено в 1964 году. Его пару вы можете написать сами. Оказывается, существует довольно простая зависимость между автоморфными числами одного порядка, и, зная одно из них, можно легко обнаружить второе. Попробуйте найти эту зависимость и написать второе 100-значное автоморфное число (в этом вам поможет решение задачи М69, «Квант» №10, 1971). Интересно, что автоморфные числа существуют не в любой системе счисления: основание системы не должно быть простым числом или его степенью. Первой подходящей системой будет шестиричная, попробуйте найти в ней пару двузначных автоморфных чисел.