«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Текст задачи готовится
Докажите, что центры всех эллипсов, вписанных в данный четырехугольник, лежат на прямой, проходящей через середины диагоналей этого четырехугольника.
Система прямоугольников из $n$ этажей (рис. 2) построена следующим образом. Начиная с нижнего прямоугольника, образующего первый этаж, верхняя сторона каждого прямоугольника делится в отношении $1 : 2 : 3$; на трех полученных отрезках как на основаниях строятся…
Докажите, что если в выпуклом многограннике из каждой вершины выходит чётное число рёбер, то в любом сечении его плоскостью, не проходящей ни через одну из его вершин, получится многоугольник с чётным числом сторон.
На шахматной доске размера $99\times99$ отмечена фигура $\mathit\Phi$ (эта фигура будет разной в пунктах а), б) и в)). В каждой клетке фигуры $\mathit\Phi$ сидит жук. В какой-то момент жуки взлетели и сели снова в клетки той же фигуры $\mathit\Phi$; при этом в одну…
Окружность радиуса $R$ разделена точками $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ на четыре равные дуги. Докажите, что сумма четвёртых степеней расстояний от произвольной точки окружности $M$ до точек $A_k$, не зависит…
Даны два натуральных числа $n$ и $m$, $n\gt m$. Докажите, что $n$ можно представить в виде суммы двух натуральных чисел, одно из которых — делитель числа $m$, а другое не имеет с $m$ ни одного общего делителя,…
Из 30 конгруэнтных прямоугольников составлен прямоугольник, подобный исходным. Каким может быть отношение длин сторон этого прямоугольника?
В строчку подряд написано 1000 чисел. Под ней пишется вторая строчка чисел по следующему правилу: под каждым числом $A$ первой строчки выписывается натуральное число, указывающее, сколько раз $A$ встречается в первой строчке. Из второй строчки таким же образом…
