Система прямоугольников из $n$ этажей (рис. 2) построена следующим образом. Начиная с нижнего прямоугольника, образующего первый этаж, верхняя сторона каждого прямоугольника делится в отношении $1:2:3$; на трёх полученных отрезках как на основаниях строятся прямоугольники той же высоты, что и первоначальный, и так — до самого верхнего этажа. Из полученного множества прямоугольников выбрано некоторое подмножество, состоящее из попарно неконгруэнтных прямоугольников (одно такое подмножество на рисунке — красное). Докажите, что найдётся вертикальная прямая, пересекающая не более двух из выбранных прямоугольников.
Оценим общую площадь системы попарно неконгруэнтных прямоугольников. Площадь каждого из них равна $\dfrac S{3^k2^m}$, где $S$ — площадь нижнего прямоугольника, $k$ и $m$ — целые, $k\ge0$, $m\ge0$, $k+m\le n$. Сумма различных чисел вида $\dfrac1{3^k2^m}$ не превосходит
$$
\colsep{0pt}{\begin{array}{cccccccccccc}
&&1&{}+{}&\dfrac13&{}+{}&\dfrac1{3^2}&{}+{}&\ldots&{}+{}&\dfrac1{3^n}&{}+{}\\\\[-6pt]
&{}+{}&\dfrac12&{}+{}&\dfrac1{2\cdot3}&{}+{}&\dfrac1{2\cdot3^2}&{}+{}&\ldots&{}+{}&\dfrac1{2\cdot3^n}&{}+{}\\\\[-6pt]
&{}+{}&\dfrac1{2^2}&{}+{}&\dfrac1{2^2\cdot3}&{}+{}&\dfrac1{2^2\cdot3^2}&{}+{}&\ldots&{}+{}&\dfrac1{2^2\cdot3^n}&{}+{}&\ldots\\\\[-3pt]
\ldots&{}+{}&\dfrac1{2^n}&{}+{}&\dfrac1{2^n\cdot3}&{}+{}&\dfrac1{2^n\cdot3^2}&{}+{}&\ldots&{}+{}&\dfrac1{2^n\cdot3^n}.
\end{array}}
$$
Сумма чисел в столбцах меньше соответственно 2, $2\cdot\dfrac13$, $2\cdot\dfrac1{3^2}$, $\ldots$, $2\cdot\dfrac1{3^n}$, а $$
2\left(1+\dfrac13+\dfrac1{3^2}+\ldots+\dfrac1{3^n}\right)\lt2\cdot\dfrac32=3.
$$
Но если бы каждая вертикальная прямая пересекала три или больше красных прямоугольников, то сумма их площадей была бы не меньше $3S$. Следовательно, найдётся прямая, которая пересекает не больше двух прямоугольников.
