«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Дано 20 чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{10}$, $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_{10}$. Докажите, что множество из 100 чисел (не обязательно различных) $a_1+b_1$, $a_1+b_2$, $\ldots$,…
Докажите, что нечётное число, являющееся произведением $n$ различных простых множителей, можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел ровно $2^{n-1}$ различными способами.
В данный сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей (рис. 1). Для каждой пары окружностей через точку касания проводится касающаяся их прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.
Куб $100\times 100 \times 100$ составлен из миллиона единичных кубиков. Назовём шампуром прямую, проходящую через центры кубиков и параллельную рёбрам куба.
Текст задачи готовится
В вершинах правильного $n$-угольника с центром в точке $O$ расставлены числа ($+1$) и ($-1$). За один шаг разрешается изменить знак у всех чисел, стоящих в вершинах какого-либо правильного $k$-угольника с центром…
