«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Дано 20 чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{10}$, $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_{10}$. Докажите, что множество из 100 чисел (не обязательно различных) $a_1+b_1$, $a_1+b_2$, $\ldots$,…
Докажите, что нечётное число, являющееся произведением $n$ различных простых множителей, можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел ровно $2^{n-1}$ различными способами.
В данный сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей (рис. 1). Для каждой пары окружностей через точку касания проводится касающаяся их прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.
Текст задачи готовится
В вершинах правильного $n$-угольника с центром в точке $O$ расставлены числа ($+1$) и ($-1$). За один шаг разрешается изменить знак у всех чисел, стоящих в вершинах какого-либо правильного $k$-угольника с центром…
