«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
При каких натуральных $m$ и $n$ ($m\lt n$) можно закрасить некоторые клетки бесконечного листа клетчатой бумаги в чёрный цвет так, чтобы любой прямоугольник размера $m\times n$ содержал ровно одну чёрную клетку? Начните с более простой задачи:…
Разбейте произвольный треугольник на семь равнобедренных треугольников, из которых три конгруэнтны между собой.
Докажите, что для любых действительных $x$, $y$ и $z$ выполнено неравенство $$ (x^2+y^2-z^2)(x^2+z^2-y^2)(y^2+z^2-x^2)\le(x+y-z)^2(x+z-y)^2(y+z-x)^2. $$
Через каждую вершину тетраэдра проведена плоскость, содержащая центр окружности, описанной около противоположной грани, и перпендикулярная противоположной грани. Докажите, что эти четыре плоскости пересекаются в одной точке.
Существует ли такое натуральное $N$, что каждое рациональное число между нулём и единицей представляется в виде суммы $N$ чисел, обратных натуральным?
Текст задачи готовится
На каждом из нескольких кусков бумаги произвольной формы поставлена клякса (произвольной формы). Назовём промокашку подходящей для данного куска, если её можно разместить внутри этого куска так, что она закроет кляксу. Пусть набор промокашек, имеющих форму кругов разных радиусов, обладает таким…
6 активистов класса образовали 30 различных комиссий. Каждые две комиссии различаются составом, но обязательно «пересекаются», т. е. имеют общего члена. Докажите, что можно образовать ещё одну комиссию, пересекающуюся с каждой из этих 30 комиссий.
Дан полином $$ f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_n $$ с целыми коэффициентами и натуральные числа $k$ и $p$. Докажите, что если ни одно из чисел $f(k)$, $f(k+1)$, $\ldots$, $f(k+p)$ не делится на $p+1$, то уравнение $f(x)=0$…
Пусть $a$ и $b$ — два натуральных числа. Докажите, что если $ab$ чётно, то найдутся такие натуральные числа $c$ и $d$, что $a^2+b^2+c^2=d^2$, а если $ab$ нечётно, то таких $c$ и…
Два одинаково ориентированных квадрата $OABC$ и $OA_1B_1C_1$ имеют общую вершину $O$. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ проходят через одну точку.
