«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
При каких натуральных $m$ и $n$ ($m\lt n$) можно закрасить некоторые клетки бесконечного листа клетчатой бумаги в чёрный цвет так, чтобы любой прямоугольник размера $m\times n$ содержал ровно одну чёрную клетку? Начните с более простой задачи:…
Разбейте произвольный треугольник на семь равнобедренных треугольников, из которых три конгруэнтны между собой.
Докажите, что для любых действительных $x$, $y$ и $z$ выполнено неравенство $$ (x^2+y^2-z^2)(x^2+z^2-y^2)(y^2+z^2-x^2)\le(x+y-z)^2(x+z-y)^2(y+z-x)^2. $$
Через каждую вершину тетраэдра проведена плоскость, содержащая центр окружности, описанной около противоположной грани, и перпендикулярная противоположной грани. Докажите, что эти четыре плоскости пересекаются в одной точке.
Существует ли такое натуральное $N$, что каждое рациональное число между нулём и единицей представляется в виде суммы $N$ чисел, обратных натуральным?
Текст задачи готовится
