«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
6 активистов класса образовали 30 различных комиссий. Каждые две комиссии различаются составом, но обязательно «пересекаются», т. е. имеют общего члена. Докажите, что можно образовать ещё одну комиссию, пересекающуюся с каждой из этих 30 комиссий.
Дан полином $$ f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_n $$ с целыми коэффициентами и натуральные числа $k$ и $p$. Докажите, что если ни одно из чисел $f(k)$, $f(k+1)$, $\ldots$, $f(k+p)$ не делится на $p+1$, то уравнение $f(x)=0$…
Пусть $a$ и $b$ — два натуральных числа. Докажите, что если $ab$ чётно, то найдутся такие натуральные числа $c$ и $d$, что $a^2+b^2+c^2=d^2$, а если $ab$ нечётно, то таких $c$ и…
Два одинаково ориентированных квадрата $OABC$ и $OA_1B_1C_1$ имеют общую вершину $O$. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ проходят через одну точку.
На клетчатой бумаге нарисован выпуклый многоугольник с вершинами в узлах (в углах клеток). Выберем какую-нибудь вершину $O$ многоугольника $F$ и обозначим через $nF$ многоугольник, полученный из $F$ растяжением в…
Текст задачи готовится
В каждую клетку прямоугольной таблицы записано вещественное число. Некоторая клетка таблицы называется её седловой клеткой, если стоящее в ней число не меньше остальных чисел в своём столбце и не больше остальных чисел в своей строке.
В чемпионате мира участвуют 20 команд. Среди них $k$ европейских команд, результаты встреч между которыми на чемпионате мира идут в зачёт чемпионата Европы. Чемпионат проводится в один круг. При каком наибольшем $k$ может оказаться, что европейская команда,…
