«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Три отрезка с концами на сторонах треугольника, параллельные его сторонам, проходят через одну точку и имеют одинаковую длину $x$ (рис. 1). Найдите $x$, если длины сторон треугольника равны $a$, $b$, $c$.
В городе на каждую площадь выходит не менее трёх улиц. На всех улицах введено одностороннее движение так, что с любой площади можно проехать на любую другую. Докажите, что можно запретить движение по одной из улиц (на участке между двумя площадями) так, что по-прежнему с любой площади можно…
Для каких положительных чисел $a$ верно следующее утверждение: для любой функции $f$, определенной на отрезке $[0,1]$, непрерывной в каждой точке этого отрезка и такой, что $f(0)=f(1)=0$, уравнение $f(x+a)-f(x)=0$ имеет решение?
Какое наибольшее число королей можно расставить на торической шахматной доске $n\times n$, чтобы они не били друг друга? Торическая шахматная доска получается из обычной размером $n\times n$, у которой верхняя и нижняя горизонтали, а также левая и правая вертикали считаются…
Текст задачи готовится
В каждой клетке шахматной доски написано целое число от 1 до 64, причём в разных клетках — разные числа. За один вопрос можно, указав любую совокупность полей, узнать совокупность (множество) чисел, стоящих на этих полях. За какое наименьшее число вопросов можно узнать число в каждой…
Дан треугольник $ABC$. Доказать, что условие $\widehat{ACB} \ge 120^\circ$ необходимо и достаточно, чтобы для любой точки $P$ плоскости выполнялось неравенство $|AP|+|BP|+|CP|\ge|AC|+|BC|$.
