«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что периметр любого сечения треугольной пирамиды плоскостью не превосходит наибольшего из периметров её граней.
Полукруг с диаметром $AB$ разрезан отрезком $CD$, перпендикулярным $AB$, на два криволинейных треугольника $ACD$ и $BCD$, в которые вписаны окружности, касающиеся $AB$ в точках $E$ и $F$…
В основании треугольной пирамиды $PABC$ лежит правильный треугольник $ABC$. Докажите, что если углы $PAB$, $PBC$, $PCA$ конгруэнтны, то пирамида $PABC$ — правильная.
Пусть $a$, $b$, $c$ — неотрицательные числа.
Известно, что все рёбра многогранника $M$ равны между собой и касаются некоторого шара.
Из вершины треугольника проведён отрезок в точку на противоположной стороне, делящийся вписанной окружностью на три равные части. Может ли этот отрезок оказаться
треугольника?
Текст задачи готовится
Две равные окружности касаются друг друга. Постройте трапецию такую, что каждая из окружностей касается трёх её сторон, а центры окружностей лежат на диагоналях трапеции.
Дана полуокружность с диаметром $AB$. Постройте хорду $MN$, параллельную $AB$, так, чтобы трапеция $AMNB$ была описанной.
Пусть $m$, $n$ и $k$ — натуральные числа, причём $m\gt n$. Какое из двух чисел больше —
В основании пирамиды лежит правильный $n$-угольник $A_1A_2\ldots A_n$, $B$ — вершина пирамиды. Известно, что углы $BA_1A_2$, $BA_2A_3$, $\ldots$, $BA_{n-1}A_n$, $BA_nA_1$ равны. Докажите, что пирамида правильная.
Монотонно возрастающая последовательность целых чисел $\{a_n\}$ обладает тем свойством, что для любой пары взаимно простых чисел $p$ и $q$ выполняется равенство: $a_{pq}=a_p a_q$; кроме того, известно, что $a_1=1$, $a_2=2$.
Пусть $H$ — точка пересечения высот, $O$ и $I$ — центры описанной и вписанной окружностей неравностороннего треугольника. Докажите, что из трёх отрезков $OH$, $IH$, $OI$ наибольший — $OH$.
Про числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ известно, что для всех $x$ $$ |a_1\sin x+a_2\sin2x+\ldots+a_n\sin nx|\le|\sin x|. $$ Докажите, что $|a_1+2a_2+\ldots+na_n|\le1$.
Обозначим через $P_n(x)=1+x+x^2+\ldots+x^{n-1}$ многочлен $(n-1)$-й степени, все коэффициенты которого равны единице.
Докажите, что существует бесконечно много троек чисел $n-1$, $n$, $n+1$ таких, что:
Пусть $a$, $b$, $c$ — натуральные взаимно простые в совокупности числа и $$ D_n=\gcd(a+b+c{,}~a^2+b^2+c^2{,}~a^n+b^n+c^n). $$