«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Персональная страница.
На окружности, касающейся сторон угла с вершиной $O$, выбраны две диаметрально противоположные точки $A$ и $B$ (отличные от точек касания). Касательная к окружности в точке $B$ пересекает стороны угла в точках $C$ и…
В последовательности 1, 0, 1, 0, 1, 0, $\ldots$ каждый член, начиная с седьмого, равен последней цифре суммы шести предыдущих. Докажите, что в этой последовательности не встретятся подряд шесть чисел 0, 1, 0, 1, 0, 1.
Сумма трёх целых чисел $a$, $b$ и $c$ равна 0. Докажите, что число $2a^4+2b^4+2c^4$ — квадрат целого числа.
Докажите, что константу 4 в правой части неравенства
В куче 1001 камень. Она произвольно делится на две кучи, подсчитывается число камней в них и записывается произведение этих двух чисел. Затем с одной из этих куч (в которой больше одного камня) проделывается та же операция: она делится на две и записывается произведение чисел камней в двух вновь…
В каждой клетке квадратной таблицы $1987\times1987$ написано число, не превосходящее по модулю 1. В любом квадрате $2\times2$ данной таблицы сумма чисел равна 0. Докажите, что сумма всех чисел в таблице не превосходит 1987.
В шестиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ нашлась точка $O$, из которой все стороны видны под углом $60^\circ$. Докажите, что если $OA_1\gt OA_3\gt OA_5$ и $OA_2\gt OA_4\gt OA_6$, то $$ A_1A_2+A_3A_4+A_5A_6\lt A_2A_3+A_4A_5+A_6A_1. $$
В трапеции $ABCD$ (с основаниями $BC$ и $AD$) на сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки $K$ и $M$. Докажите, что если $\angle BAM=\angle CDK$, то $\angle BMA=\angle CKD$.
В треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на стороне $AB$, точка $N$ — на стороне $BC$, $O$ — точка пересечения отрезков $CM$ и $AN$. Известно, что $AM+AN=CM+CN$. Докажите, что…