«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Имеется натуральное число $n \gt 1000$. Возьмём остатки от деления числа $2^n$ на числа 1, 2, 3, ..., $n$ и найдём сумму всех этих остатков. Доказать, что эта сумма больше $2n$.
Около сферы радиуса 10 описан некоторый 19-гранник. Докажите, что на его поверхности найдутся две точки, расстояние между которыми больше 21.
а) Доказать, что в любом выпуклом многограннике сумма длин всех ребер больше утроенного диаметра. (Диаметром многогранника называется наибольшая из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)
б) Доказать, что для любых двух вершин $A$ и…
Текст задачи готовится