«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Докажите равенства
Какое из чисел больше:
В стране $N$ городов.
Какое наименьшее количество чисел необходимо вычеркнуть из последовательности 1, 2, 3, $\dots$, 1982, чтобы ни одно из оставшихся чисел не равнялось произведению двух других оставшихся чисел?
Решите в натуральных числах уравнения
Точка $P$ расположена внутри квадрата $ABCD$ так, что $|AP|:|BP|:|CP|=1:2:3$. Найдите $\widehat{APB}$.
Отметим в натуральном ряде числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Среди отмеченных чисел встречаются тройки последовательных чисел, например $$ 72=6^2+6^2,\quad 73=8^2+3^2,\quad 74=7^2+5^2. $$
Сумма трёх целых чисел $a$, $b$ и $c$ равна 0. Докажите, что число $2a^4+2b^4+2c^4$ — квадрат целого числа.
На территории страны, имеющей форму квадрата со стороной 1000 км, находится 51 город. Страна располагает средствами для прокладки $11\,000~\text{км}$ шоссейных дорог. Сможет ли она соединить сетью шоссейных дорог все свои города?
Докажите, что для любых положительных чисел $a$, $b$, $c$, $d$ верно неравенство
В клетки таблицы $10\times10$ записывают каким-либо образом цифры 0, 1, $\ldots$, 9 так, что каждая цифра встречается 10 раз.
Дана строго возрастающая неограниченная последовательность положительных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$ Докажите, что для всех достаточно больших $k$ справедливо неравенство
Докажите, что любой треугольник можно разрезать отрезками на четыре куска, из которых можно составить два подобных ему треугольника.
Докажите, что число $11\ldots1$ (1986 единиц) имеет по крайней мере
различных делителей.
Докажите, что константу 4 в правой части неравенства
Последовательность $r_1$, $r_2$, $r_3$, $\ldots$ определяется условиями $$ r_1=2,\quad r_{n+1}=r_1r_2\ldots r_n+1, $$ так что $r_2=3$, $r_3=7$, $r_4=43$, $\ldots$
Докажите, что для $n$ положительных чисел $a_1\ge a_2\ge a_3\ge\ldots\ge a_n$ выполнены неравенства:
На плоскости даны прямая $\ell$ и две точки $A$ и $B$ по одну сторону от неё. На прямой $\ell$ выбраны точка $M$, сумма расстояний от которой до точек $A$ и $B$ наименьшая, и точка…
На отрезке $[-1, 1]$ выбрано $k$ различных точек, для каждой посчитано произведение расстояний до остальных $k-1$ точек и через $S$ обозначена сумма обратных величин этих $k$ произведений. Докажите, что
Докажите, что существуют $n$ различных натуральных чисел, сумма кубов которых равна кубу натурального числа, если
Докажите, что если $a$, $b$ и $c$ — длины сторон треугольника, то $$2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}\right)\ge\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+3.$$
Докажите, что для любого натурального $n$ между числами $n^2$ и $n^2+n+3\sqrt{n}$ найдутся три натуральных числа, произведение двух из которых делится на третье.
Докажите, что для нецелого $a \gt 1$ (причём $a\ne \sqrt[p]{q}$, где $p$ и $q$ — натуральные числа) и натурального $n$ выполняется равенство $$ [\log_a2]+[\log_a3]+\ldots+[\log_an]+[a]+[a^2]+\ldots+[a^k]=nk, $$ где $k=[\log_an]$ ($[x]$ — целая часть числа…
Обозначим сумму $1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac1n$ через $h_n$. Докажите (для каждого натурального $n$) неравенство $$ \dfrac1{h_1^2}+\dfrac1{2h_2^2}+\dfrac1{3h_3^2}+\ldots+\dfrac1{nh_n^2}\lt 2. $$
Число 15 можно тремя способами разложить в сумму трёх натуральных чисел так, что все 9 чисел различны: $$15=1+6+8=2+4+9=3+5+7.$$ Для каждого натурального $n$ обозначим через $k(n)$ наибольшее число троек натуральных чисел, дающих в сумме $n$ и состоящих из…
Текст задачи готовится
Пусть $d_1$, $d_2$, $d_3$ — попарные разности длин сторон треугольника (по абсолютной величине), $P$ — его периметр. Докажите неравенство $$ d_1d_2+d_2d_3+d_3d_1\le\dfrac{P^2}4. $$
Пусть $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ — некоторая перестановка из чисел 1, 2, $\ldots$, $n$; $r_k$ — остаток от деления числа $a_1+a_2+\ldots+a_n$ на $n$ ($k=1$, 2, $\ldots$,…
Докажите, что для любых $n$ положительных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$, сумма которых равна 1, выполнено неравенство $$ \left(\dfrac{1}{a_1^2}-1\right) \left(\dfrac{1}{a_2^2}-1\right) \ldots \left(\dfrac{1}{a_n^2}-1\right) \ge \left(n^2-1\right)^n. $$
Докажите, что для любых положительных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$, справедливо неравенство $$ \sqrt{\dfrac{a_1+a_2}{a_3}}+\sqrt{\dfrac{a_2+a_3}{a_4}}+\ldots+\sqrt{\dfrac{a_{n-1}+a_n}{a_1}}+\sqrt{\dfrac{a_n+a_1}{a_2}} \ge n\sqrt{2}. $$
Пусть $m$, $n$ и $k$ — натуральные числа, причём $m\gt n$. Какое из двух чисел больше —
Докажите для положительных чисел $x_1\le x_2\le \ldots \le x_n$ ($n\gt2$) неравенство $$ \dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_3}+\ldots+\dfrac{x_n}{x_1}\ge\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{x_3}{x_2}+\ldots+\dfrac{x_1}{x_n}. $$
Докажите, что для любой последовательности положительных чисел $a_n$ целые части квадратных корней из чисел $$ b_n=(a_1+a_2+\ldots+a_n)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\ldots+\dfrac{1}{a_n}\right) $$ все различны.
Число 26 можно тремя способами разложить в сумму четырёх натуральных чисел так, что все 12 чисел различны: $$ 26=1+6+8+11=2+5+9+10=3+4+7+12. $$ Для каждого натурального $n$ обозначим через $K=K(n)$ наибольшее число четвёрок натуральных чисел, дающих в сумме $n$ и состоящих…
Докажите, что для всех наборов $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, $0\lt x_1\le x_2\le\ldots\le x_n$, выражение $$ x_2^{k}(x_1-x_3)+x_3^{k}(x_2-x_4)+\ldots+x_1^{k}(x_n-x_2) $$ неотрицательно при $k\gt 1$ и неположительно при $0\lt k\lt 1$.
Рассмотрим последовательность $a_1=1$, $a_2=2$, $a_3=3$, $a_4=4$, $a_5=5$, $a_6=119$, $a_{n+1}=a_1a_2\ldots a_n-1$ при $n\ge 5$. Докажите, что $$ a_1^2+a_2^2+\ldots+a_{70}^2=a_1a_2\ldots a_{70}. $$
Докажите, что для любых положительных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$ , $a_n$ справедливо неравенство $$ a_1+a_2+\ldots+a_n-n\sqrt[\scriptstyle n~]{a_1a_2\ldots a_n}\ge(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_n})^2. $$