В этой статье мы будем сравнивать между собой числа. Постоянным будет вопрос: какое из чисел больше? Кое-кто из вас может подумать: «Что тут спрашивать! Всем ясно, что десять больше пяти, а сто меньше тысячи». Ну что же, прочитав эту заметку, вы, вероятно, согласитесь, что ответ на этот вопрос бывает очень и очень непростым.
Начнём с такой задачи.
Задача 1. Какое число больше: $2^{3^{\scriptstyle100}}$ или $3^{2^{\scriptstyle100}}$?
Решение. Докажем, что $2^{3^{\scriptstyle100}}\gt3^{2^{\scriptstyle100}}$. Действительно, $2^{3^{\scriptstyle100}}=4^{\frac{\scriptstyle3^{\scriptstyle100}}{\scriptstyle2}}$. Поэтому достаточно доказать, что $\dfrac{3^{100}}2\gt2^{100}$ или что $\left(\dfrac32\right)^{100}\gt2$. Но уже $\left(\dfrac32\right)^2\gt2$, так что $\left(\dfrac32\right)^{100}$ и подавно больше 2. Из нашего решения видно, что $2^{3^{\scriptstyle2}}\gt3^{2^{\scriptstyle3}}$. Из этого факта (его нетрудно проверить и непосредственно) легко вывести другое решение задачи.
Следующая задача чуть-чуть сложнее.
Задача 2. Какое число больше: $5^{10}+6^{10}$ или $7^{10}$?
Первое решение. Докажем, что $5^{10}+6^{10}\lt7^{10}$. Так как $5^{10}+6^{10}\lt2\cdot6^{10}$, то достаточно доказать, что $\left(\dfrac76\right)^{10}\gt2$. Последнее неравенство следует из неравенства Бернулли («Алгебра и начала анализа 9», п. 2):
$$
\left(\dfrac76\right)^{10}=\left(1+\dfrac16\right)^{10}\gt1+10\cdot\dfrac16\gt2.
$$
Второе решение. Заметим, что $5^3+6^3=341\lt343=7^3$.
Поэтому $\left(\dfrac57\right)^3+\left(\dfrac67\right)^3\lt1$. Так как $\left(\dfrac57\right)^{10}\lt\left(\dfrac57\right)^3$ и $\left(\dfrac67\right)^{10}\lt\left(\dfrac67\right)^3$; получаем $\left(\dfrac57\right)^{10}+\left(\dfrac67\right)^{10}\lt1$. Значит, $5^{10}+6^{10}\lt7^{10}$.
Задача 3. Какое из десяти чисел $1^{10}$, $2^9$, $3^8$, $4^7$, $5^6$, $6^5$, $7^4$, $8^3$, $9^2$, $10^1$ самое большое?
Решение. Очевидно, что $2^9\gt1^{10}$. Докажем, что $3^8$ больше $2^9$. Действительно, $3^8=9^4\gt8^4=2^{12}\gt2^9$. Теперь сравним $4^7$ и $3^8$: $4^7\gt3^8\Leftrightarrow\left(\dfrac43\right)^7\gt3$. Осталось заметить, что $\left(\dfrac43\right)^7=\left(1+\dfrac13\right)^7\gt1+7\cdot\dfrac13\gt3$.
Итак, из первых четырёх чисел самое большое $4^7$. Докажем теперь, что $4^7\gt5^6\gt6^5\gt7^4\gt8^3\gt9^2\gt10^1$. Из $4^7\gt5^6\Leftrightarrow\left(\dfrac54\right)^6\lt4$ и $\left(\dfrac54\right)^6=\left(\dfrac{125}{64}\right)^2\lt2^2=4$ следует $4^7\gt5^6$.
Неравенства $5^6\gt6^5$ и $6^5\gt7^4$ доказываются аналогично.
Неравенства $7^4\gt8^3\gt9^2\gt10^1$ очевидны.
Таким образом, самое большое среди наших чисел — это $4^7$. В конце статьи мы ещё раз вернёмся к этой задаче и приведём менее «выкладочное» решение.
Задача 4. Какое число больше: $1^n+2^n+3^n+\ldots+9^n$ или $10^n$?
Решение. Легко видеть, что при маленьких $n$ $1^n+2^n+\ldots+9^n$ больше, чем $10^n$. Действительно,
$$
\begin{gather*}
1+2+\ldots+9\gt10;\quad1^2+2^2+\ldots+9^2\gt10^2;\\
1^3+2^3+\ldots+9^3\gt9^3+8^3=729+512\gt1000=10^3.
\end{gather*}
$$
Прежде чем рассматривать другие значения $n$, заметим, что если при некотором $n$ $1^n+2^n+\ldots+9^n\lt10^n$, то для всех $m\gt n$ тем более $1^m+2^m+\ldots+9^m\lt10^m$. Действительно, при переходе к бо́льшим значениям показателей правая часть увеличивается в большее число раз, чем левая.
Докажем теперь, что $1^7+2^7+\ldots+9^7\lt10^7$.
Заметим, что $1^7+2^7\lt3^7$. Поэтому $1^7+2^7+3^7\lt2\cdot3^7\lt4^7$ (последнее неравенство можно обосновать при помощи неравенства Бернулли). Тогда $1^7+2^7+3^7+4^7\lt2\cdot4^7\lt5^7$ и т. д. вплоть до $1^7+2^7+\ldots+8^7\lt2\cdot8^7$. Оказывается, верно также $2\cdot8^7\lt9^7$ и $2\cdot9^7\lt10^7$, но неравенство Бернулли здесь бессильно. Чтобы доказать эти неравенства, достаточно проверить, что $\left(\dfrac9{10}\right)^7\lt\dfrac12$, а это мы предлагаем сделать непосредственным подсчётом.
Итак, при $n\ge7$
$$
1^n+2^n+\ldots+9^n\lt10^n.
$$
Оказывается, $1^5+2^5+3^5+\ldots+9^5\gt10^5$, поскольку $0{,}9^5+0{,}8^5+0{,}7^5\gt1$ (проверьте), а тогда и $1^4+2^4+\ldots+9^4\gt10^4$.
Чтобы завершить решение задачи, осталось выяснить, что больше: $1^6+2^6+\ldots+9^6$ или $10^6$. Предлагаем вам сделать это самостоятельно.
(Ответ. $10^6\gt1^6+2^6+\ldots+9^6$.)
Итак, $1^n+2^n+\ldots+9^n\gt10^n$ при $1\le n\le5$; при $n\ge6$ — «наоборот».
В следующей задаче появляются очень высокие степени.
Задача 5. Какое число больше: $1^1+2^2+3^3+\ldots+1000^{1000}$ или $2^{2^{\scriptstyle2^{\scriptstyle2^{\scriptstyle2}}}}$?
Решение. Во-первых, $2^{2^{\scriptstyle2^{\scriptstyle2^{\scriptstyle2}}}}=2^{2^{\scriptstyle2^{\scriptstyle4}}}=2^{2^{\scriptstyle16}}$. Так как $2^{10}=1024\gt10^4$ и $2^6=64$, получаем $2^{16}\gt64\,000$. Значит, $2^{2^{\scriptstyle2^{\scriptstyle2^{\scriptstyle2}}}}\gt2^{64\,000}$. С другой стороны,
$$
\begin{gather*}
1^1+2^2+3^3+\ldots+1000^{1000}\lt\underbrace{1000^{1000}+1000^{1000}+\ldots+1000^{1000}}_{1000}=\\=1000^{1001}\lt(2^{10})^{1001}=2^{10\,010}.
\end{gather*}
$$
Так как $2^{64\,000}\gt2^{10\,010}$, получаем
$$
2^{2^{\scriptstyle2^{\scriptstyle2^{\scriptstyle2}}}}\gt1^1+2^2+3^3+\ldots+1000^{1000}.
$$
Как мы видим, $2^{2^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle2}}}}}\raisebox{7pt}{\(\bigg\}\scriptstyle\,n\)}$ с ростом $n$ очень быстро растёт. Но и число $\underbrace{22\ldots2}_n{}^{\underbrace{22\ldots2}_{\scriptstyle n}}$ также растёт очень быстро. Какое же из этих чисел больше?
Задача 6. Что больше: $2^{2^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle2}}}}}\raisebox{7pt}{\(\bigg\}\scriptstyle\,n\)}$ или $\underbrace{22\ldots2}_n{}^{\underbrace{22\ldots2}_{\scriptstyle n}}$?
Решение. Давайте для удобства обозначим
$2^{2^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle2}}}}}\raisebox{7pt}{\(\bigg\}\scriptstyle\,n\)}$ через $a_n$, а $\underbrace{22\ldots2}_n{}^{\underbrace{22\ldots2}_{\scriptstyle n}}$ через $b_n$. Легко вычислить несколько первых значений $a_n$: $a_1=2$, $a_2=4$, $a_3=16$, $a_4=65\,536$. $b_1=4$, однако уже $b_2$ вручную подсчитать очень тяжело. Тем не менее проверить, что $a_1\lt b_1$, $a_2\lt b_2$, $a_3\lt b_3$, $a_4\lt b_4$, совсем просто (сделайте это самостоятельно).
Сравним $a_5$ и $b_5$.
$$
a_5=2^{a_4}=2^{65\,536};\quad b_5=22\,222^{22\,222}.
$$
Докажем, что $b_5\gt a_5$. Действительно, $22\,222\gt1024=2^{10}$, поэтому
$$
22\,222^{22\,222}\gt(2^{10})^{22\,222}=2^{222\,220}\gt2^{65\,536}.
$$
Итак, при $1\lt n\lt 5$ имеем $a_n\lt b_n$. Давайте теперь сравним $a_6$ и $b_6$:
$$
a_6=2^{a_5}=2^{2^{\scriptstyle65\,536}};\quad b=222\,222^{222\,222}.
$$
$2^{65\,536}$ — очень большое число; $2^{65\,536}\gt10^{3\cdot4363}=10^{19\,659}$. Поэтому $a_6\gt2^{10^{\scriptstyle19\,659}}=\bigl(2^{10^{\scriptstyle2}}\bigr)^{10^{\scriptstyle19\,657}}\gt(10^{30})^{10^{\scriptstyle19\,657}}$ и намного больше $b_6$. Попробуем теперь доказать, что $a_n\gt b_n$ при $b\ge6$. Оценим $b_n$ сверху. Так как $\underbrace{22\ldots2}_n\lt10^n$, $b_n\lt(10^n)^{10^{\scriptstyle n}}=10^{n\cdot10^{\scriptstyle n}}$. В свою очередь, $10^{n\cdot10^{\scriptstyle n}}\lt(2^4)^{n\cdot(2^{\scriptstyle 4})^{\scriptstyle n}}=2^{4n\cdot2^{\scriptstyle4n}}\lt2^{2^{\scriptstyle n}\cdot2^{\scriptstyle4n}}=2^{2^{\scriptstyle5n}}$. Таким образом, $b_n\lt2^{2^{\scriptstyle5n}}$. Поэтому достаточно доказать, что $a_{n-2}\gt5n$ при $n\ge6$. Для $n=6$ это так: $a_4=2^{16}\gt5\cdot6$. Следовательно, $a_5=2^{a_4}\gt2a_4\gt2\cdot5\cdot6\gt5\cdot7$; $a_6=2^{a_5}\gt2a_5\gt2\cdot5\cdot7\gt5\cdot8$ и т. д.
Задача решена полностью.
Сейчас мы решим задачу М486 из Задачника «Кванта».
Задача 7. Какое число больше: $2^{3^{\scriptstyle2^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp\,}}}}}\!\raisebox{7pt}{\(\bigg\}\scriptstyle\,n\)}$ или $3^{2^{\scriptstyle3^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp\,}}}}}\!\raisebox{7pt}{\(\bigg\}\scriptstyle\,n\)}$?
Эту задачу можно решить многими способами. Приведём один из них.
Решение. Для удобства обозначим $2^{3^{\scriptstyle2^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp\,}}}}}\!\raisebox{7pt}{\(\bigg\}\scriptstyle\,n\)}$ через $a_n$, а $3^{2^{\scriptstyle3^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp\,}}}}}\!\raisebox{7pt}{\(\bigg\}\scriptstyle\,n\)}$ через $b_n$. Заметим, что $a_{n+1}=2^{b_n}$; $b_{n+1}=3^{a_n}$.
Легко видеть, что $a_1=2$, $b_1=3$. Значит, $b_1\gt a_1$. Далее $a_2=2^3=8$, $b_3=3^2=9$. Поэтому $b_2\gt a_2$. Посчитаем $a_3$ и $b_3$. $a_3=2^{b_2}=512$; $b_3=3^{a_2}=6561$. Таким образом, $b_3\gt a_3$. Заметим, что $b_3\gt3a_3$. Выведем из этого, что $a_4\gt3b_4$. Действительно, $3b_4=3\cdot3^{a_3}\lt2^{a_3}\cdot4^{a_3}=2^{3a_3}\lt2^{b_3}=a_4$. Теперь легко понять, что и в общем случае из условия $3a_n\lt b_n$ следует, что $3b_{n+1}\lt a_{n+1]$, а из условия $3b_n\lt a_n$ — что $3a_{n+1}\lt b_{n+1}$.
Действительно, пусть $3a_n\lt b_n$. Тогда
$$
3b_{n+1}=3\cdot3^{a_n}\lt2^{a_n}\cdot4^{a_n}=2^{3a_n}\lt2^{b_n}=a_{n+1}.
$$
Если же $3b_n\lt a_n$, то $$
3a_{n+1}=3\cdot2^{b_n}\lt3^{b_n}\cdot3^{b_n}=3^{2b_n}\lt3^{a_n}=b_{n+1}.
$$
Таким образом, мы получаем, что $b_n\gt a_n$ при нечётных $n$ и $n=2$ и $a_n\gt b_n$ при чётных $n\ge4$.
Все предыдущие решения были основаны на счастливых догадках. Более скучный, но зато более универсальный подход — использование логарифмов. Проиллюстрируем его на примере.
Задача 8. Найти степень четвёрки, наиболее близкую к числу $2^{100}+3^{100}$.
Решение. Во-первых, давайте попробуем оценить, во сколько раз число $3^{100}$ больше, чем $2^{100}$. Для этого рассмотрим отношение этих чисел:
$$
\left(\dfrac32\right)^{100}=\left(\left(\dfrac32\right)^2\right)^{50}\gt2^{50}=
(2^{10})^5\gt(10^3)^5=10^{15}.
$$
Значит, $2^{100}$ составляет менее, чем 0,000000000000001 от $3^{100}$!
Теперь нам ясно, что число $2^{100}+3^{100}$ «практически» равно $3^{100}$. Значит, $4^k\approx3^{100}$, где $k$ — искомая степень. Поэтому $k\approx100\dfrac{\lg3}{\lg4}$. По таблице логарифмов находим, что $\lg3\approx0{,}4771$, $\lg4\approx0{,}6021$. Отсюда получаем, что $k\approx79$.
Наши рассуждения нельзя считать достаточными для доказательства. Пока они позволили нам найти ответ лишь приблизительно.
Приведём теперь строгое доказательство того, что $4^{79}$ — искомая степень.
Мы знаем, что значения логарифмов, приведённые в таблице В. М. Брадиса, имеют погрешности, не превосходящие половины единицы разряда последней цифры. (См. В. М. Брадис «Четырёхзначные математические таблицы», с. 3.)
Поэтому $0{,}47705\lt\lg3\lt0{,}47715$; $0{,}60205\lt\lg4\lt0{,}60215$. Отсюда непосредственно умножая и округляя в нужную сторону, получаем $47{,}5\lt79\lg4\lt47{,}6$ и $48{,}1\lt80\lg4\lt48{,}2$. $\lg(2^{100}+3^{100})$ оценим следующим образом:
$$
\lg(2^{100}+3^{100})=100\lg3+\lg\left(1+\left(\dfrac23\right)^{100}\right).
$$
Из $\lg\left(1+\left(\dfrac23\right)^{100}\right)\lt\lg(1+10^{-15})\lt\lg(1+10^{-2})\lt0{,}005$ (последнее неравенство при помощи таблиц) выводим $47{,}7\lt\lg(2^{100}+3^{100})\lt47{,}8$. Таким образом, $\lg(2^{100}+3^{100})-79\lg4\lt0{,}3$, $80\lg4-\lg(2^{100}+3^{100})\gt0{,}3$ и $4^{79}$ ближе к $2^{100}+3^{100}$, чем $4^{80}$.
Иногда для сравнения больших чисел удаётся, рассмотрев подходящую функцию, использовать методы дифференциального исчисления.
Подробный рассказ об этом не входит в наши намерения. Мы снова ограничимся одним примером.
В задаче 3 требовалось отыскать среди чисел $k^{11-k}$ ($k=1$, 2, 3, $\ldots$, 10) максимальное.
Давайте рассмотрим функцию $f(x)=x^{11-x}$ ($x\in(0;\infty)$).
Посчитаем производную этой функции. Для этого $x^{11-x}$ преобразуем так: $x^{11-x}=e^{(11-x)\ln x}$. Значит,
$$
f'(x)=(e^{(11-x)\ln x})'=e^{(11-x)\ln x}[(11-x)\ln x]'=x^{11-x}\left[\dfrac{11-x}x-\ln x\right].
$$
Ясно, что знак $f'(x)$ совпадает со знаком выражения, стоящего в скобке.
Функция $g(x)=\dfrac{11}x-\ln x-1$ на $(0;+\infty)$ убывает, причём $g(4)=1{,}75-\ln4\gt0$, а $g(5)=1{,}2-\ln5\lt0$. (Докажите эти неравенства, воспользовавшись тем, что $3\gt e\gt2{,}5$.) Поэтому существует такое $x_0\in(4;5)$, что на промежутке $(0;x_0]$ функция $f$ возрастает, а на $[x_0;\infty)$ — убывает. Значит, среди наших чисел самое большое либо $f(4)$, либо $f(5)$. Остаётся выбрать большее из них.
Задачи
Какое число больше:
- $15^{30}$ или $30^{15}$?
- $2^{40}$ или $3^{33}$?
- $10^{1000}$ или $9^{1111}$?
Какое число больше:
- $5^{15}+6^{20}+7^{25}$ или $8^{24}$?
- $7^{15}+15^7$ или $6^{16}+16^6$?
- $5^{5^{\scriptstyle5^{\scriptstyle5^{\scriptstyle5}}}}$ или $6^{6^{\scriptstyle6^{\scriptstyle6}}}$?
Расположить в порядке возрастания числа
- $2^{100}$, $100^{50}$, $3^{3^{\scriptstyle3^{\scriptstyle3}}}$, $1978^{1978}$.
- $\underbrace{111\ldots1}_{1978}{}^{\underbrace{111\ldots1}_{1978}}$, $10^{10^{\scriptstyle10^{\scriptstyle10}}}$, $5^{5^{\scriptstyle5^{\scriptstyle5^{\scriptstyle5}}}}$, $2^{3^{\scriptstyle4^{\scriptstyle5^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle10}}}}}}}$.
Какое число больше:
- $\left(\dfrac12\right)^{\scriptstyle\left(\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle3}\right)^{\scriptstyle\left(\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle2}\right)^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp}}}}}\raisebox{10pt}{\(\left.\rule{0pt}{2pc}\right\}\scriptstyle\,n\)}$ или $\left(\dfrac13\right)^{\scriptstyle\left(\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle2}\right)^{\scriptstyle\left(\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle3}\right)^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp}}}}}\raisebox{9pt}{\(\left.\rule{0pt}{2pc}\right\}\scriptstyle\,n\)}$?
- $2^{2^{\scriptstyle2^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle2}}}}}}\raisebox{8pt}{\(\Bigg\}\scriptstyle\,n+2\)}$ или $3^{3^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle\,\cdotp\,^{\scriptstyle3}}}}}\raisebox{7pt}{\(\bigg\}\scriptstyle\,n\)}$?
