«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате (стороны которого идут по линиям сетки) по модулю не превосходит единицы. Докажите, что тогда существует такое число $c$, что сумма чисел в любом прямоугольнике…
Решите уравнение $$ \sqrt[\scriptstyle3~]{1-x}+\sqrt[\scriptstyle3~]{1+x}=p, $$ где $p$ — произвольное вещественное число.
Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая следующим свойством:
Ни одно из этих чисел не делится на другое, но среди каждых трёх чисел можно выбрать два, сумма которых…
Двое играют в следующую игру. Один называет цифру, а второй вставляет её по своему усмотрению вместо одной из звёздочек в следующей разности: $$ \def\z{\enspace\mathclap{*}\enspace} \colsep{0pt}{\begin{array}{ccccc} &\z&\z&\z&\z\\[-6pt] \mathllap-\\[-6pt] &\z&\z&\z&\z\\ \hline \end{array}} $$ Затем первый называет ещё одну цифру и т. д. 8 раз, пока все звёздочки не заменятся на цифры. Тот кто называет цифры,…
Сумма $n$ положительных чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ равна 1. Пусть $S$ — наибольшее из чисел $$\frac{x_1}{1+x_1},~\frac{x_2}{1+x_1+x_2},~\ldots,~\frac{x_n}{1+x_1+x_2+\ldots+x_n}.$$ Найти наименьшее возможное значение $S$. При каких значениях $x_1$,…
Квадратный трёхчлен $f(x) = ax^{2} + bx + c$ таков, что уравнение $f(x) = x$ не имеет вещественных корней. Доказать, что уравнение $f(f(x)) = x$ также не имеет вещественных корней.
В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду. При этом, если кузнечик $A$ прыгает через кузнечика $B$, то после прыжка он оказывается от $B$ на том же расстоянии (но, естественно, по другую сторону и на той же прямой;…
На $n$ карточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которых равно $+1$ или $-1$. За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всех $n$ чисел, если за один вопрос разрешается узнать
Если при любом $x$ $$ a_1\cos x+a_2\cos2x+\ldots+a_n\cos nx\ge-1, $$ то для чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ выполнено неравенство $$ a_1+a_2+\ldots+a_n\le n. $$
Докажите это утверждение
Докажите аналогичное неравенство:
Докажите, что не существует строго возрастающей последовательности целых неотрицательных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$, для которых при любых $n$ и $m$ выполняется соотношение $$ a_{nm}=a_n+a_m. $$
Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ плоскости таковы, что для любой точки $M$ этой плоскости скалярные произведения векторов $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}$ и $\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{MD}$ не равны друг другу. Докажите, что $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$. Верно ли…
Докажите, что сумма квадратов трёх последовательных целых чисел не может быть кубом натурального числа.
Решите уравнение $x^3+x^2+x=-\dfrac{1}{3}.$
Докажите, что если сумма плоских углов при вершине пирамиды больше $180^\circ$, то каждое боковое ребро пирамиды меньше полупериметра её основания.
Докажите, что если $x_1 \lt x_2 \lt x_3 \lt \ldots$ — натуральные числа, то $$ \frac{\sqrt{x_2-x_1}}{x_2} + \frac{\sqrt{x_3-x_2}}{x_3}+ \ldots + \frac{\sqrt{x_n-x_{n-1}}}{x_n} \lt 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n^2-1}+\frac{1}{n^2}. $$
Можно ли расставить цифры 0, 1, 2 в клетках листа клеточной бумаги размером $100 \times 100$ таким образом, чтобы в каждом прямоугольникe $3 \times 4$, стороны которого идут по сторонам клеток, оказалось бы три нуля, четыре единицы и пять двоек?
Можно ли расставить числа $1$, $2$, $3$, $\ldots$, $n$ в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, поставленных между ними?
Даны две окружности радиусов $R$ и $r$, касающиеся внешним образом. Строятся различные трапеции $ABCD$ так, чтобы каждая из окружностей касалась обеих боковых сторон и одного из оснований трапеции. Найдите наименьшую возможную длину длину боковой…
В числовом треугольнике верхнее число равно 1 и крайние числа в каждой строке — тоже 1, а каждое из остальных чисел не меньше суммы двух чисел, стоящих над ним (в частности, этому условию удовлетворяет «треугольник Паскаля», изображённый на рис. 2). Пусть натуральное число $a$,…
Даны натуральные числа $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_m$, $y_1$, $y_2$, $\ldots$, $y_n$. Суммы $x_1+x_2+\ldots+x_m$ и $y_1+y_2+\ldots+y_n$ равны между собой и меньше $mn$. Докажите, что в…
В каждой вершине куба записано число. За один шаг к двум числам, размещённым на одном (любом) ребре, прибавляется по единице. Можно ли за несколько таких шагов сделать все восемь чисел равными между собой, если вначале были поставлены числа, как на рисунке 1? Как на рисунке 2? Как на рисунке…