Текст статьиИонин Ю. И. Интеграл в геометрии и физике // Квант. — 1972. — № 10. — С. 17—21.
В статье «Интеграл» (см. «Квант» №9, 1972) мы рассказали вам об одном из важнейших разделов математики — интегральном исчислении.
Теперь мы рассмотрим некоторые применения интеграла в геометрии и физике.
§ 1. Геометрические приложения интеграла
1. Площадь подграфика
Пусть на отрезке $[A,B]$ числовой оси задана числовая функция $f$, все значения которой неотрицательны. Подграфиком этой функции называют фигуру, ограниченную графиком функции $f$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$ (рис. 1).
Многие геометрические фигуры являются подграфиками или могут быть из них составлены. Так, прямоугольник высоты $h$, выделяемый неравенствами $0\le y\le h$, $A\le x\le B$, можно рассматривать как подграфик постоянной функции $x\to h$ (рис. 2). Круг подграфиком не является, но полукруг можно рассматривать как подграфик функции $x\to\sqrt{R^2-x^2}$, определённой на отрезке $[-R,R]$ (рис. 3).
Рис. 1Рис. 2Рис. 3
Итак, пусть на отрезке $[A,B]$ определена неотрицательная числовая функция $f$. Для каждого отрезка $[a,b]$, содержащегося в отрезке $[A,B]$, обозначим через $S[a,b]$ площадь части подграфика функции $f$, заключённой между прямыми $x=a$ и $x=b$. Полученная функция промежутка аддитивна (рис. 4): $S[a,b]+S[b,c]=S[a,c]$.
Рис. 4Рис. 5
Часть подграфика, заключённая между прямыми $x=a$ и $x=b$, содержит прямоугольник, основанием которого служит отрезок $[a,b]$, а высота равна $\min\limits_{[a,b]}f$ и содержится в прямоугольнике с тем же основанием и высотой $\max\limits_{[a,b]}f$. Следовательно, число $S[a,b]$ заключено между площадями этих прямоугольников (рис. 5)
$$
(b-a)\min\limits_{[a,b]}f\le S[a,b]\le(b-a)\max\limits_{[a,b]}f.
$$
Непосредственно из определения интеграла следует, что функция промежутка $S$ — интеграл от числовой функции $f$. В частности, площадь всего подграфика функции $f$ равна $\int\limits_A^Bf(x)\,dx$. Выведенная формула площади подграфика показывает геометрический смысл интеграла: интеграл от неотрицательной функции — это площадь подграфика этой функции. На этом основано использование интеграла для вычисления площадей.
Рис. 6
В качестве примера найдём площадь фигуры, отсекаемой от параболы $y=x^2+1$ прямой $y=2x+1$.
Парабола и прямая пересекаются в точках, координаты которых $(0,1)$ и $(2,5)$ находятся как решения системы уравнений $y=x^2+1$, $y=2x+1$.
Искомая площадь (рис. 6) равна разности площадей подграфиков функций $x\to 2x+1$ и $x\to x^2+1$, определённых на отрезке $[0,2]$:
$$
S=\int\limits_0^2(2x+1)dx-\int\limits_0^2(x^2+1)dx=\int\limits_0^2(2x-x^2)dx=2\int\limits_0^2x\,dx-\int\limits_0^2x^2\,dx=\dfrac43.
$$
Вообще, если графики функций $f$ и $g$ пересекаются в точках с абсциссами $A$ и $B$, а для всех чисел $x$ отрезка $[A,B]$ выполнено неравенство $f(x)\ge g(x)$, то площадь фигуры, заключённой между этими графиками (рис. 7), равна $\int\limits_A^B(f(x)-g(x))dx$.
Рис. 7Рис. 8
Упражнение 1.
Вычислить площадь подграфика функции $x\to x^2$ на отрезке $[0,1]$.
Вычислить площадь, ограниченную аркой синусоиды и осью абсцисс (рис. 8).
2. Объём тела вращения
Предположим, что подграфик неотрицательной функции $f$, определённой на отрезке $[A,B]$, вращается вокруг оси абсцисс. Каждому отрезку $[a,b]$, содержащемуся в отрезке $[A,B]$, поставим в соответствие число $V[a,b]$ — объём части образовавшегося тела вращения, заключённой между плоскостями $x=a$ и $x=b$ (рис. 9).
Мы получим аддитивную функцию промежутка $V$.
Рис. 9
Из рисунка 9 видно, что выделенная часть тела вращения содержит прямой круговой цилиндр, высотой которого служит отрезок $[a,b]$, а радиус основания равен $\min\limits_{[a,b]}f$ и содержится в цилиндре с той же высотой и радиусом основания $\max\limits_{[a,b]}f$. Так как объёмы этих цилиндров равны соответственно $\pi(b-a){\left(\min\limits_{[a,b]}f\right)^2}$ и $\pi(b-a){\left(\max\limits_{[a,b]}f\right)^2}$, то
$$
\pi(b-a){\left(\min\limits_{[a,b]}f\right)^2}\le V[a,b]\le\pi(b-a){\left(\min\limits_{[a,b]}f\right)^2}.
$$
Но $\pi{\left(\min\limits_{[a,b]}f\right)^2}$ — это наименьшее значение функции $\pi f^2$ на отрезке $[a,b]$, а $\pi{\left(\max\limits_{[a,b]}f\right)^2}$ — её наибольшее значение на этом отрезке. Следовательно, $V$ — интеграл от этой функции, так что объём всего тела вращения равен
$$
\textstyle\int\limits_A^B\pi f^2(x)\,dx.
$$
В качестве примера вычислим объём прямого кругового конуса и объём шара.
Рис. 10
Прямой круговой конус высоты $H$ можно рассматривать как результат вращения подграфика линейной функции $x\to kx$, определённой на отрезке $[0,H]$ (рис. 10). Если радиус основания конуса равен $R$, то
$$
kH=R,
$$
откуда
$$
k=\dfrac Rh.
$$
Объём конуса равен
$$
\int\limits_0^H\pi k^2x^2\,dx=\pi k^2\int\limits_0^Hx^2\,dx=\dfrac13\pi k^2H^3=\dfrac13\pi\dfrac{R^2}{H^2}H^3=\dfrac13\pi R^2H.
$$
Шар радиуса $R$ получается вращением полукруга того же радиуса вокруг основания.
В подходящим образом выбранной системе координат этот полукруг является подграфиком функции
$$
x\to\sqrt{R^2-x^2},
$$
определённой на отрезке $[-R,R]$. Объём шара, следовательно, равен
$$
\int\limits_{-R}^R\pi(R^2-x^2)\,dx=\pi R^2\int\limits_{-R}^Rdx-\pi\int\limits_{-R}^Rx^2\,dx=\dfrac43\pi R^3.
$$
Упражнение 2. Найти площадь подграфика функции $x\to\cos x$ на отрезке $\left[0,\dfrac\pi2\right]$.
Упражнение 3. Найти объём тела, полученного вращением арки синусоиды вокруг оси абсцисс.
Упражнение 4. Найти объём тела, полученного вращением графика функции $x\to x^2$ на отрезке $[0,1]$ вокруг оси ординат.
Приведём в заключение несколько примеров применения интеграла в физических задачах.
Задача 1. Найдите силу гравитационного взаимодействия между расположенными на одной прямой материальной точкой массы $m$ и однородным стержнем длины $l$ и массы $M$. Расстояние от точки до ближайшего конца стержня равно $c$.
Вам, конечно, известен закон всемирного тяготения, утверждающий, что сила гравитационного взаимодействия двух точечных масс прямо пропорциональна произведению этих масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Однако в нашем случае одна из взаимодействующих масс точечной не является.
Если стержень разбить на несколько частей, то сумма сил взаимодействия этих частей с массой $m$ равна силе взаимодействия всего стержня с этой массой. Обычно физики дальше пишут: «разобьём стержень на очень маленькие отрезки длины $\Delta x$. На отрезок, находящийся на расстоянии $x$ от точки $m$, действует сила $\dfrac{mM\,\Delta x}{lx^2}$, сумма всех этих сил равна...». Покажем, как можно оформлять подобные рассуждения строго, пользуясь нашим определением интеграла.
Прямую, на которой лежат стержень и точка, превратим в числовую ссь, выбрав в качестве начальной точку, в которой помещена масса $m$, и направив ось так, чтобы стержень оказался на положительной полуоси. Стержень займёт тогда отрезок $[c,c+l]$ этой оси. Каждому отрезку $[a,b]$, содержащемуся в отрезке $[c,c+l]$, поставим в соответствие число $F[a,b]$ — величину силы взаимодействия между этим отрезком стержня и массой $m$. Ясно, что $F$ — аддитивная Ффункция промежутка. Ясно, что эта сила увеличится, если всю массу отрезка $[a,b]$, равную $\dfrac Ml(b-a)$, сконцентрировать в ближайшем к массе $m$ конце $a$ этого отрезка, и уменьшится, если эту массу сконцентрировать в точке $b$. Но в обоих случаях мы придём к взаимодействию двух точечных масс. В первом случае сила взаимодействия окажется равной $\dfrac{\gamma mM}{la^2}(b-a)$, во втором случае — $\dfrac{\gamma mM}{lb^2}(b-a)$. Следовательно,
$$
\dfrac{\gamma mM}{lb^2}(b-a)\le F[a,b]\le\dfrac{\gamma mM}{la^2}(b-a).
$$
Но $\dfrac{\gamma mM}{lb^2}=\min\limits_{[a,b]}\dfrac{\gamma mM}{lx^2}$, а $\dfrac{\gamma mM}{la^2}=\max\limits_{[a,b]}\dfrac{\gamma mM}{lx^2}$. Следовательно, аддитивная функция промежутка $F$ — это интеграл от функции $x\to\dfrac{\gamma mM}{lx^2}$. Вся сила гравитационного притяжения между стержнем и точкой равна
$$
\int\limits_c^{c+l}\dfrac{\gamma mM}{lx^2}dx=\dfrac{\gamma mM}l\int\limits_c^{c+l}x^{-2}\,dx=\dfrac{\gamma mM}l(-1)[(c+1)^{-1}-c^{-1}]=\dfrac{\gamma mM}l{\left(\dfrac1c-\dfrac1{c+l}\right)}=\dfrac{\gamma mM}{c(c+l)}.
$$
Вы знаете, что силу гравитационного притяжения планет также вычисляют по закону всемирного тяготения. Доказательство справедливости для сферических масс той же формулы, что и для точечных, послужило для Ньютона одним из толчков к созданию интегрального исчисления.
Задача 2. Найти кинетическую энергию однородного диска радиуса $R$ и массы $M$, вращающегося с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, проходящей через центр диска и перпендикулярной его плоскости.
Кинетическая энергия движущейся точки зависит от массы и скорости. Хотя диск вращается с постоянной угловой скоростью, более удалённые от центра точки имеют большую линейную скорость и, следовательно, большую кинетическую энергию.
Каждому отрезку $[a,b]$, содержащемуся в отрезке $[0,R]$, поставим в соответствие число $K[a,b]$ — кинетическую энергию кольца с центром в центре диска, внутренним радиусом $a$ и внешним радиусом $b$. $K$ — аддитивная функция промежутка.
Кинетическая энергия такого кольца увеличится, если всю его массу сконцентрировать на внешнем ободе кольца, и уменьшится, если эту массу сконцентрировать на внутреннем ободе кольца. Так как точки каждого из этих ободов имеют одну и ту же линейную скорость, то кинетическая энергия в первом случае станет равной $\dfrac12\dfrac M{R^2}(b^2-a^2)(\omega b)^2$, а во втором случае — $\dfrac12\dfrac M{R^2}(b^2-a^2)(\omega a)^2$. Таким образом,
$$
\dfrac{M\omega^2a^2}{2R^2}(b^2-a^2)\le K[a,b]\le\dfrac{M\omega^2b^2}{2R^2}(b^2-a^2).
$$
Разложим $b^a-a^2$ на множители и заменим множитель $b+a$ в левой части неравенства на меньшее число $2a$, а в правой части — на большее число $2b$. Получим:
$$
\dfrac{M\omega^2a^3}{R^2}(b-a)\le K[a,b]\le\dfrac{M\omega^2b^3}{R^2}(b-a).
$$
Но $\dfrac{M\omega^2a^3}{R^2}=\min\limits_{[a,b]}\dfrac{M\omega^2x^3}{R^2}$, а $\dfrac{M\omega^2b^3}{R^2}=\max\limits_{[a,b]}\dfrac{M\omega^2x^3}{R^2}$. Следовательно, кинетическая энергия диска равна
$$
\int\limits_0^R\dfrac{M\omega^2x^3}{R^2}dx=\dfrac{M\omega^2}{R^2}\int\limits_0^Rx^3\,dx=\dfrac{M\omega^2}{R^2}\cdot\dfrac{R^4}4=\dfrac14M\omega^2R^2.
$$
Задача 3. Найдите путь, пройденный в равноускоренном движении за время $t$ от начала движения, если ускорение равно $a$, а начальная скорость равна $v_0$.
Ответ этой задачи вам хорошо известен. Получим его средствами интегрального исчисления.
Так как скорость в случае движения играет ту же роль, что плотность в случае массы, то путь — это интеграл от скорости. Скорость в момент времени $x$ равна $v_0+ax$. Следовательно, искомый путь равен
$$
\int\limits_0^t(v_0+ax)\,dx=v_0\int\limits_0^tdx+a\int\limits_0^tx\,dx=v_0t+\dfrac{at^2}2.
$$
Упражнение 6. Стержень вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси, проходящей через один из его концов, с постоянной угловой скоростью $\omega$. Длина стержня равна $l$, масса $M$. Стержень однородный. Найти кинетическую энергию.
Упражнение 7. Найти количество тепла, выделяемое переменным синусоидальным током
$$
I(t)=I_0\sin(\omega t+\phi)
$$
в течение одного периода в проводнике с сопротивлением $R$.
Поскольку график вращается вокруг оси ординат, а не оси абсцисс, нужно от функции $x\to x^2$ перейти к обратной функции $x\to\sqrt x$. Поэтому нужно вычислить
$$
\int\limits_0^1\pi x\,dx=\dfrac\pi2.
$$
Этот интеграл численно равен площади части плоскости между графиком функции $x\to\sqrt{1-x^2}$ и осью абсцисс над отрезком $[0,1]$. Поэтому он равен четверти площади круга радиуса 1. Следовательно,
$$
\int\limits_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\dfrac\pi4.
$$
