Ясиновый Э. А. / Авторы задач / Задачи // Архив журнала «Квант»

Задачи по математике‍‍

Задача М103
Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений $$ \left\{\begin{array}{l} x^2+y^2+xy=a,\\ x^2-y^2=b, \end{array}\right. $$ где $a$‍‍ и $b$‍‍ — некоторые действительные числа.
Задача М269
Обозначим через $T_k(n)$‍‍ сумму произведений по $k$‍‍ чисел от 1 до $n$‍.‍ Например, $$ T_2(4) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 = 35. $$
1. Найдите общую формулу для $T_2(n)$‍‍ и $T_3(n)$‍.‍
2. Докажите, что $T_k(n)$‍‍…
Задача М588
1. Через точку, взятую внутри произвольного тетраэдра, параллельно его рёбрам проведены отрезки с концами на гранях тетраэдра. Докажите, что сумма всех шести отношений длин этих отрезков к длинам параллельных им рёбер всегда равна трём.
2. Сформулируйте и…
Задача М762
[MISSING TEXT]
Задача М840
1. Докажите, что если $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ — длины сторон треугольника, то выполнено неравенство $$ a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\ge0. $$ Выясните, в каких случаях оно превращается в равенство.
2. Докажите, что для любых положительных чисел…
Задача М862
[MISSING TEXT]
Задача М1403
[MISSING TEXT]

Ясиновый Э. А.‍7

Задачи по математике‍‍