«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Для любого ли числа $x \ge1 $ верно равенство $$ \left[\sqrt{\left[\sqrt{x}\right]}\right]=\left[ \sqrt{\sqrt{x}}\right]? $$ (Здесь через $[y]$ обозначена целая часть числа $y$.)
По плоскости ползут несколько черепах, скорости которых равны по величине, но различны по направлениям. Докажите, что, как бы черепахи ни были расположены вначале, через некоторое время они будут находиться в вершинах выпуклого многоугольника.
Точка внутри правильного $2n$-угольника соединена с вершинами. Возникшие $2n$ треугольников раскрашены попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных
расположены $n$ точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не больше $n^2$.
Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а длины его сторон — целые числа. Докажите, что эти числа — 3, 4 и 5.