«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Даны два набора из $n$ вещественных чисел: $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ и $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_n$. Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:
Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служат вершинами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки $M$ окружности до сторон одного многоугольника равно…
Будем обозначать кружочком некоторую (неизвестную пока) операцию, применимую к любым двум целым неотрицательным числам $a$ и $b$ и дающую в результате тоже целое неотрицательное число $a\circ b=c$. Пусть операция «$\circ$» удовлетворяет следующим…
В параллелограмм $P_1$ вписан параллелограмм $P_2$, в который в свою очередь вписан параллелограмм $P_3$, причём стороны $P_3$ параллельны сторонам $P_1$. Докажите, что хотя бы одна сторона параллелограмма $P_3$ по длине…
Двое играют в такую игру. Первый загадывает два числа от 1 до 25, а второй должен их угадать. Он может назвать любые два числа от 1 до 25 и узнать у первого, сколько из названных им чисел — 0, 1 или 2 — совпадают с загаданными. За какое минимальное число вопросов он сможет наверняка определить…
На плоскости даны $n$ точек $A_1$, $\ldots$, $A_n$, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Какое наибольшее число отрезков с концами в этих точках можно провести так, чтобы не получилось ни одного треугольника с вершинами в этих…