Генкин Сергей Александрович / Авторы задач / Задачи // Архив журнала «Квант»

Условия задач‍‍

Задача М1003
В треугольнике $ABC$‍‍ проведены три высоты $AH$‍,‍ $BK$‍,‍ $CL$‍.‍ Докажите равенства $$ AK\cdot BL\cdot CH=AL\cdot BH\cdot CK=HK\cdot KL\cdot LH. $$
Задача М1071
На доске нарисовано поле для игры в «цифры»: $$ ((((((((( \_\_ * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_) $$ Двое играющих ходят по очереди. Первый игрок начальным ходом записывает на месте первого (самого левого) пробела $( \_\_ )$‍‍ какую-нибудь цифру. Каждый дальнейший ход состоит в том, чтобы записать цифру на месте очередного…
Задача М1200
Для каких $k$‍‍ можно расположить на окружности
1. 10;
2. 100;
3. $n$‍‍
дуг так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с $k$‍‍ другими?
Задача М1230
Текст задачи готовится
Задача М1246
Докажите, что в любой бесконечной арифметической прогрессии, члены которой — натуральные числа, найдутся два числа с одинаковой суммой цифр.
Задача М1261
На плоскости расположено 1991 красных, чёрных и жёлтых точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые пары точек соединены отрезками, причём из каждой точки выходит одинаковое число отрезков. Докажите, что найдётся красная точка, которая соединена и с чёрной, и с жёлтой…
Задача М1275
Последовательность натуральных чисел $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $a_3$‍,‍ $\ldots$‍‍ такова, что при любом $k\gt 1$‍‍ $$ a_{k+1}=a_{k-1}a_k+1. $$ Докажите, что при $k\gt 9$‍‍ число $a_k-22$‍‍ — составное.

Сергей Александрович Генкин‍8

Условия задач‍‍

Решение задачи