Берчеану К. / Авторы задач / Задачи // Архив журнала «Квант»

Задачи по математике‍‍

Задача М1151
1. Докажите равенство (где $n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$‍):‍ $$ \dfrac{1\cdot2!}2+\dfrac{2\cdot3!}{2^2}+\ldots+\dfrac{n\cdot(n+1)!}{2^n}=\dfrac{(n+2)!}{2^n}-2. $$
2. Найдите сумму $$ \dfrac{1\cdot3!}3+\dfrac{2\cdot4!}{3^2}+\ldots+\dfrac{n\cdot(n+2)!}{3^n}. $$
Задача М1152
Пусть $h$‍‍ и $l$‍‍ — высота и биссектриса, проведённые из одной вершины треугольника, $R$‍‍ и $r$‍‍ — радиусы его описанной и вписанной окружностей. Докажите неравенство $\dfrac hl\ge\sqrt{\dfrac{2r}R}$‍.‍