«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В каждой вершине куба записано число. За один шаг к двум числам, размещённым на одном (любом) ребре, прибавляется по единице. Можно ли за несколько таких шагов сделать все восемь чисел равными между собой, если вначале были поставлены числа, как на рисунке 1? Как на рисунке 2? Как на рисунке…
Можно ли все клетки какой-нибудь прямоугольной таблицы окрасить в белый и чёрный цвета так, чтобы белых и чёрных клеток было поровну, а в каждой строке и в каждом столбце было более $\dfrac34$ клеток одного цвета?
Можно ли таблицу $10 \times 10$ клеток заполнить 100 различными натуральными числами так, чтобы для любого квадрата $k \times k$ клеток ($2 \le k \le 10$)
$k$ чисел на его…
Назовём пузатостью прямоугольника отношение его меньшей стороны к большей (пузатость квадрата равна 1). Докажите, что, как бы ни разрезать квадрат на прямоугольники, сумма их пузатостей будет не меньше 1.
На сторонах $a$, $b$, $c$, $d$ вписанного в окружность четырёхугольника «наружу» построены прямоугольники размерами $a\times c$, $b\times d$, $c\times a$, $d\times b$. Докажите, что центры этих прямоугольников…
Полукруг с диаметром $AB$ разрезан отрезком $CD$, перпендикулярным $AB$, на два криволинейных треугольника $ACD$ и $BCD$, в которые вписаны окружности, касающиеся $AB$ в точках $E$ и $F$…
Можно ли множество всех конечных десятичных дробей разбить на а) два, б) три класса так, чтобы в один класс не попали два числа с разностью $10^m$ (ни при каком целом $m=0$, $\pm1$, $\pm2$, $\ldots$)?
Люда, Марина и Наташа нарисовали остроугольный треугольник $LMN$. Затем Люда построила свой треугольник, у которого длины двух сторон равны $|LM|$ и $|LN|$, а угол между ними на $60^\circ$ больше угла $L$ треугольника $LMN$.…
Обозначим через $S_n$ сумму первых $n$ простых чисел: $S_1 =2$, $S_2=2+3=5$, $S_3=2+3+5=10$, $S_4=17$ и т. д. Докажите, что при любом $n$ между $S_n$ и $S_{n+1}$ встречается точный квадрат.
Решите систему уравнений $$\left\{\begin{array}{l} 3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=4\left(y+\dfrac{1}{y}\right)=5\left(z+\dfrac{1}{z}\right),\\ xy+yz+zx=1. \end{array}\right.$$