«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В компании из $N$ человек у каждого ровно трое друзей.
Дан прямоугольный треугольник $A_0A_1A_2$ с катетами $|A_0A_2|=a$ и $|A_1A_2|=b$. Муравей ползёт по бесконечной ломаной $A_2A_3A_4A_5\ldots$, где $A_nA_{n+1}$ — высота треугольника $A_{n-2}A_{n-1}A_n$.
Пусть $$ \rho(x,y)=\dfrac{|x-y|}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+\smash{y}\vphantom{x}^2}}. $$ Докажите, что для любых действительных чисел $a$, $b$, $c$ выполнено неравенство $$ \rho(a,c)\le\rho(a,b)+\rho(b,c). $$
Какое наибольшее число вершин, из которых нельзя провести ни одной диагонали (лежащей целиком внутри многоугольника) может иметь невыпуклый $n$—угольник? Решите эту задачу сначала для $n=4$, 5, 6, 7.
На плоскости задано $n$ точек. Нужно разместить в этих точках $n$ прожекторов, каждый из которых освещает угол величины $360^\circ /n$ так, чтобы осветить всю плоскость. Докажите, что это возможно при любом расположении данных точек, если
а)…
Из произвольной точки $M$ окружности, описанной около прямоугольника, опустили перпендикуляры $MP$ и $MQ$ на две его противоположные стороны, и перпендикуляры $MR$ и $MT$ — на продолжения двух других сторон. Докажите, что…
Для того чтобы уравнение $\dfrac1x-\dfrac1y=\dfrac1n$, где $n$ — натуральное число, имело единственное решение в натуральных числах $x$, $y$, необходимо и достаточно, чтобы $n$ было простым. Докажите это.
Дано натуральное число $N$. Выпишем все его делители $d_1$, $d_2$, $\ldots$, $d_n$ и для каждого из них найдём, сколько делителей оно имеет. Докажите, что для полученных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$,…
Из пункта $A$ в пункт $B$, расстояние между которыми равно $d$ км, должны добраться $n$ велосипедистов, у которых имеется $m$ велосипедов. Каждый может идти пешком со скоростью $u~\text{км/ч}$ или ехать на велосипеде…