В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известны величины двух углов $\angle A=\alpha$ и $\angle B=\beta$, а его удвоенная площадь равна ${AB}\cdot{CD}+{BC}\cdot{AD}$. Найдите отношение длин всех его сторон $AB:BC:CD:DA$, если
Ответ: отношение $AB:BC:CD:DA$ в задаче а) равно: $\sqrt2:1:\sqrt2:\sqrt3$, в задаче б) — $\sqrt3:\sqrt3:1:1$, в задаче в) — $\sin\dfrac{\varphi_1}2:\sin\dfrac{\varphi_2}2:\sin\dfrac{\varphi_3}2:\sin\dfrac{\varphi_4}2$, где $$
\varphi_1=\dfrac{3\pi}2-\alpha-\beta,\quad
\varphi_2=\dfrac\pi2+\alpha-\beta,\quad
\varphi_3=\alpha+\beta-\dfrac\pi2,\quad
\varphi_4=\dfrac\pi2-\alpha+\beta;\tag1
$$
условия существования четырёхугольника:
$$
|\alpha-\beta|\lt\dfrac\pi2,\quad\dfrac\pi2\lt\alpha+\beta\lt\dfrac{3\pi}2.\tag2
$$
Решать задачу будем сразу в общем случае в). Рассмотрим вспомогательный четырёхугольник $ABCD'$, где $D'$ — точка, симметричная $D$ относительно серединного перпендикуляра к диагонали $AC$ (рис. 1), и докажем, что его углы при вершинах $A$ и $C$ — прямые.
Рис. 1
Представляя четырёхугольник $ABCD'$ как объединение треугольников $ABD'$ и $CBD'$, получим, что его удвоенная площадь равна
$$
AB\cdot AD'\sin\angle BAD'+BC\cdot CD'\sin\angle BCD'.
$$
Удвоенная площадь $ABCD$ по условию равна
$$
AB\cdot CD+BC\cdot AD.
$$
Но эти четырёхугольники, очевидно, равновелики, а $AD'=CD$, $CD'=AD$, поэтому $\sin\angle BAD'=\sin\angle BCD'=1$, т. е. $\angle BAD'=\angle BCD'=\dfrac\pi2$.
Рис. 2
Из доказанного следует, что около четырёхугольника $ABCD'$ можно описать окружность (с диаметром $BD'$). На ней лежит и точка $D$ ($\angle ADC=\angle ADC$). Обозначим через $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\varphi_3$, $\varphi_4$ угловые величины дуг $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ (рис. 2), тогда $AB=BD'\sin\dfrac{\varphi_1}2$, $BC=BD'\sin\dfrac{\varphi_2}2$ и т. д. Остаётся выразить эти величины через $\alpha$ и $\beta$. По теореме о величине вписанного в окружность угла
$$
2\alpha=\varphi_2+\varphi_3,\quad2\beta=\varphi_3+\varphi_4,\quad2\angle BCD'=\pi=\varphi_1+\varphi_3=2\pi-\varphi_2-\varphi_4
$$
(так как дуги $CD'$ и $AD$ равны). Отсюда получаются формулы (1). Для существования четырёхугольника необходимо и достаточно, чтобы все числа $\varphi_i$ ($i=1$, $\ldots$, 4) были положительны, что эквивалентно неравенствам (2). Ответы к задачам а) и б) находятся после подстановки вместо $\alpha$ и $\beta$ заданных значений.
Легко показать, что условию задачи удовлетворяют любые четырёхугольники $ABCD$ с перпендикулярными диагоналями, около которых можно описать окружность, и только они. Это можно вывести также из одной из версий так называемой теоремы Птолемея: для любых четырёх точек $A$, $B$, $C$, $D$ плоскости верно неравенство
$$
AC\cdot BD\le AB\cdot CD+AD\cdot BC,
$$
которое обращается в равенство лишь для точек, лежащих на одной окружности или на одной прямой (см., например, «Квант» № 3 за 1973 г., с. 27). В то же время последнее утверждение этой теоремы легко доказывается с помощью перехода к четырёхугольнику $ABCD'$.
