Текст статьиБалк Г. Д., Балк М. Б. Мнимые числа и геометрические задачи // Квант. — 1973. — № 3. — С. 22—31.
Какое отношение могут иметь квадратные корни из отрицательных чисел к задачам из области геометрии? Может ли человеку, решающему планиметрическую задачу, принести ощутимую пользу то обстоятельство, что в алгебре рассматриваются числа вида $a+b\sqrt{-1}$?
Ответ как будто очевиден: «Не может».
А между тем оказывается, что привлечение таких «мнимых» чисел нередко существенно облегчает решение трудной планиметрической задачи — даже если в условии такой задачи ни о каких «мнимостях» и речи нет. Об этом будет рассказано в данной статье.
Предполагается, что начальные представления о комплексных числах и действиях с ними (в алгебраической форме) у читателя имеются — скажем, в объёме школьного учебника Е. С. и Е. С. Кочетковых «Алгебра и элементарные функции», ч. 2, М., «Просвещение», 1969, с. 216—220. Ниже мы приведём дополнительные сведения о комплексных числах и упражнения, а затем рассмотрим ряд геометрических задач.
Комплексные координаты точек и векторов
Возьмём на плоскости декартову систему координат $xOy$ (рис. 1). Пусть $Z$ — некоторая точка на плоскости. Её положение определяется двумя действительными числами — её декартовыми координатами $(a,b)$. Сопоставим точке $Z$ комплексное число $z=a+bi$. Это комплексное число назовём комплексной координатой точки $Z$.
Каждому комплексному числу $z$ соответствует на декартовой плоскости $xOy$ вполне определённая точка $Z$, комплексной координатой которой является именно это число $z$.
Возьмём теперь на координатной плоскости (рис. 1) вектор (направленный отрезок) $\bm{OZ}$ с началом в начале координат и концом в точке $Z$, имеющей координаты $(a,b)$. Комплексное число $z=a+bi$ назовём также комплексной координатой вектора$\bm{OZ}$.
Рассмотрим затем любой другой вектор $\bm{AB}$, равный вектору $\bm{OZ}$. Вектору $\bm{AB}$ сопоставим то же самое комплексное число $z$; будем это число называть комплексной координатой вектора$\bm{AB}$. Так, например, на рисунке 2 векторы $\bm{AB}$, $\bm{CD}$ и $\bm{OZ}$ имеют одну и ту же комплексную координату $2-3i$. Вообще можно сказать так: если проекция некоторого вектора на ось $Ox$ равна $a$, а его проекция на ось $Oy$ равна $b$, то комплексной координатой вектора называется число $z=a+bi$.
Рис. 2
Упражнение 2. Какие комплексные координаты имеют векторы $\bm{KL}$, $\bm{MN}$, $\bm{PQ}$, $\bm{ST}$, изображённые на рисунке 2?
Упражнение 3. Нарисуйте на координатной плоскости какие-либо векторы, начала которых не совпадают с началом координат и которые имеют такие комплексные координаты: $i$, $3-i$, $-i-3$, $-2$, $\dfrac12-\dfrac43i$.
Упражнение 4. Пусть векторы $\bm{OA}$ и $\bm{AB}$ (рис. 3) имеют комплексные координаты $z_1$ и $z_2$, а сумма этих векторов (вектор $\bm{OB}$) имеет комплексную координату $z$. Как выражается число $z$ через числа $z_1$ и $z_2$?
Решение. Пусть $z_1=a_1+b_1i$, $z_2=a_2+b_2i$. Тогда проекции векторов $\bm{OA}$ и $\bm{AB}$ на ось $Ox$ равны соответственно $a_1$ и $a_2$, а проекция их суммы $\bm{OB}$ на ось $Ox$ равна $a_1+a_2$. Аналогично показывается, что проекция вектора $\bm{OB}$ на ось $Oy$ равна $b_1+b_2$. Но тогда комплексная координата $z$ вектора $\bm{OB}$ равна $(a_1+a_2)+i(b_1+b_2)$, т. е.
$$
z=z_1+z_2.
$$
Итак, при сложении векторов их комплексные координаты складываются.
Рис. 3Рис. 4
Упражнение 5. Две точки $Z_1$ и $Z_2$ координатной плоскости $xOy$ (рис. 4) имеют комплексные координаты $z_1$ и $z_2$. Какую комплексную координату имеет вектор $\bm{Z}_1\bm{Z}_2$?
Решение. Обозначим через $z$ комплексную координату вектора $\bm{Z}_1\bm{Z}_2$. Так как $\bm{OZ}_2=\bm{OZ}_1+\bm{Z}_1\bm{Z}_2$, то $z_2=z_1+z$, откуда
$$
z=z_2-z_1.
$$
Итак, комплексная координата вектора равна разности между комплексной координатой его конца и комплексной координатой его начала.
Рис. 5
Упражнение 6. Концы отрезка $Z_1Z_2$ (рис. 5) имеют соответственно комплексные координаты $z_1$ и $z_2$. Какова комплексная координата $z$ середины $Z$ этого отрезка?
Решение. Векторы $\bm{Z}_1\bm{Z}$ и $\bm{ZZ}_2$ равны, и поэтому они имеют одну и ту же комплексную координату; обозначим её через $c$. Так как $\bm{OZ}=\bm{OZ}_1+\bm{Z}_1\bm{Z}$ и $\bm{OZ}_2=\bm{OZ}+\bm{ZZ}_2$, то $z=z_1+c$, $z_2=z+c$.
Исключая $c$, найдём
$$
z=\dfrac12(z_1+z_2).
$$
Итак, комплексная координата середины отрезка равна полусумме комплексных координат его концов.
Упражнение 7. Точки $A$ и $B$ на координатной плоскости имеют комплексные координаты $\sqrt3-i$ и $-\sqrt3+3i$. Какую комплексную координату имеет вектор $\bm{AB}$? Какую комплексную координату имеет середина отрезка $AB$?
Напомним понятие модуля и аргумента комплексного числа. Если число $z=a+bi$ — комплексная координата вектора $\bm{AB}$ (рис. 1), то длина $r$ этого вектора называется модулем комплексного числа $z$ (обозначается так: $|z|$). Ясно, что $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. Угол $\alpha$ наклона вектора $\bm{AB}$ к оси $Ox$ (отсчитываемый в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки) называется аргументом числа $z$ (обозначается так: $\mathop{\textrm{Arg}}z$). Понятно, что у каждого комплексного числа $z$ имеется бесконечно много аргументов. Из очевидных соотношений $z=r\cos\alpha$, $b=r\sin\alpha$ следует так называемая тригонометрическая форма комплексного числа: $z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$.
Упражнение 8. Пусть $z_1$ и $z_2$ — два комплексных числа. Как геометрически истолковать число $|z_2-z_1|$?
Упражнение 9. Может ли модуль суммы двух комплексных чисел быть больше суммы модулей этих чисел?
Формула Эйлера и формула Муавра
Выражение вида $\cos\phi+i\sin\phi$ встречается в математике и её приложениях весьма часто. Для него используются различные сокращённые обозначения. Например, в картографии его обозначают знаком $1_\phi$, а в работах по математике — через $\exp(i\phi)$ или $e^{i\phi}$. Таким образом, по определению
$$
e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi.\tag1
$$
Обозначение (1) оправдано сходством в свойствах выражений вида $e^x$ (степень с вещественным показателем $x$) и выражений вида $e^{i\phi}$. В самом деле, известно, что для вещественных $x$, $x_1$ и целых $n$ верны такие формулы:
$$
\begin{gather*}
e^x\cdot e^{x_1}=e^{x+x_1},\tag2\\
e^{-x}=\dfrac{1}{e^x},\tag3\\
(e^x)^n=e^{nx}.\tag4
\end{gather*}
$$
Иными словами, при перемножении степеней с одним и тем же основанием показатели складываются; при возведении какой-либо степени в целую степень показатели перемножаются. Напишем для выражения вида $e^{i\phi}$ аналогичные формулы (ниже $\phi$, $\phi_1$ — произвольные действительные числа, $n$ — любое целое число:
$$
\begin{gather*}
e^{i\phi}\cdot e^{i\phi_1}=e^{i(\phi+\phi_1)},\tag{2′}\\
e^{-i\phi}=\dfrac{1}{e^{i\phi}},\tag{3′}\\
(e^{i\phi})^n=e^{in\phi}.\tag{4′}
\end{gather*}
$$
Верны ли эти равенства? Оказывается, да. В этом можно убедиться, пользуясь формулами сложения тригонометрических функций. Справедливость формул (2′)—(4′) и оправдывает введение обозначения (1).
(3′). Полагая в (2′) $\phi_1=-\phi$, получим $e^{i\phi}\cdot e^{-i\phi}=e^{i\cdot0}=1$, откуда следует (3′).
(4′). Доказательство этой формулы для натуральных $n$ проведём методом математической индукции. При $n=1$ формула (4′), очевидно, верна. Пусть (4′) справедлива для некоторого $k$:
$$
(e^{i\phi})^k=e^{i(k\phi)}.\tag5
$$
Покажем, что в таком случае формула (4′) верна и для следующего номера (т. е. при $n=k+1$). Действительно, в силу формул (5) и (2′) имеем
$$
(e^{i\phi})^{k+1}=(e^{i\phi})^k\cdot e^{i\phi}=e^{i(k\phi)}\cdot e^{i\phi}=e^{i(k\phi+\phi)}=e^{i(k+1)\phi}.\tag{5′}
$$
Итак, из (5) следует (5′). Согласно принципу математической индукции формула (4′) верна для всех натуральных $n$.
Пусть теперь $n$ — целое отрицательное число; тогда $n=-m$, где $m$ — натуральное число, и поэтому $(e^{i\phi})^m=e^{im\phi}$. Следовательно,
$$
(e^{i\phi})^n=(e^{i\phi})^{-m}=\dfrac{1}{(e^{i\phi})^m}=\dfrac{1}{e^{im\phi}}=e^{-im\phi}=e^{in\phi},
$$
т. е. (4′) верна и для всех целых отрицательных $n$ (для $n=0$, как обычно, $z^0=1$).
Формулы (2′)—(4′) позволяют производить преобразования с выражениями вида $\cos\phi+i\sin\phi$ так, как будто это обычные степени.
Формулу (1) называют формулой Эйлера, а формулу (4′) — формулой Муавра. Более распространена другая запись формулы (4′):
$$
(\cos\phi+i\sin\phi)^n=\cos n\phi+i\sin n\phi.
$$
Формула Эйлера позволяет каждое комплексное число $z$ записать компактно в виде $z=re^{i\phi}$, где $\phi$ — аргумент числа $z$, а $r$ — его модуль (показательная или экспоненциальная форма записи комплексного числа).
Упражнение 11. Пользуясь показательной формой записи комплексных чисел, выясните, как выражается модуль и аргумент произведения двух комплексных чисел через модули и аргументы сомножителей.
Решение. Пусть $z=z_1\cdot z_2$. Запишем каждый сомножитель в экспоненциальной форме:
$$
z_1=r_1e^{i\phi_1},\quad z_2=r_2e^{i\phi_2}.
$$
Тогда
$$
z=r_1e^{i\phi_1}\cdot r_2e^{i\phi_2}=(r_1\cdot r_2)e^{i(\phi_1+\phi_2)}.
$$
Отсюда видно, что число $z$ имеет своим модулем число $r_1\cdot r_2$, а аргументом — число $\phi_1+\phi_2$. Можно это записать так:
$$
\begin{gather*}
|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2|,\\
\mathop{\textrm{Arg}}(z_1\cdot z_2)=\phi_1+\phi_2.
\end{gather*}
$$
Итак, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Отметим ещё два следствия из формулы Эйлера. Заменяя в (1) $\phi$ на $-\phi$, имеем
$$
e^{-i\phi}=\cos\phi-i\sin\phi.\tag6
$$
Из (1) и (6) следуют интересные следствия:
$$
\begin{align*}
2\cos\phi&=e^{i\phi}+e^{-i\phi},\\
2i\sin\phi&=e^{i\phi}-e^{-i\phi},
\end{align*}
$$
откуда
$$
\begin{align*}
\cos\phi&=\dfrac{e^{i\phi}+e^{-i\phi}}{2},\\
\sin\phi&=\dfrac{e^{i\phi}-e^{-i\phi}}{2i}.
\end{align*}
$$
Рис. 6
Упражнение 12. Пусть $z_1$ и $z_2$ -комплексные координаты двух точек, расположенных на окружности радиуса $R$ с центром в нуле (начале координат) (рис. 6); $\alpha$ и $\beta$ — аргументы чисел $z_1$ и $z_2$, $0\lt\alpha\lt\beta\lt2\pi$. Проверьте справедливость следующего тождества:
$$
z_2-z_1=|z_2-z_1|\cdot e^{i\frac{\scriptstyle\alpha+\beta}{\scriptstyle2}}\cdot i.\tag7
$$
Решение. Так как $z_2-z_1=Re^{i\beta}-Re^{i\alpha}$, то
$$
\dfrac{z_2-z_1}{ie^{i\frac{\scriptstyle\alpha+\beta}{\scriptstyle2}}}=\dfrac1iR{\left(e^{i\frac{\scriptstyle\beta-\alpha}{\scriptstyle2}}-e^{-i\frac{\scriptstyle\beta-\alpha}{\scriptstyle2}}\right)}=2R\sin\dfrac{\beta-\alpha}{2}\gt0.\tag8
$$
Отсюда
$$
|z_2-z_1|=2R\sin\dfrac{\beta-\alpha}{2}.\tag9
$$
Из (8) и (9) следует (7).
Формула (7) будет нами в дальнейшем использована.
Одна геометрическая задача
Задача 1. Через центр правильного $n$-угольника проведём произвольную прямую и подсчитаем сумму $S$ квадратов расстояний от вершин многоугольника до этой прямой. Будет ли полученная сумма зависеть от выбора прямой?
Рис. 7
Решение. Пусть (рис. 7) $A_1A_2\ldots A_n$ — данный многоугольник, $R$ — радиус описанной около него окружности, $O$ — её центр, $MN$ — прямая, проходящая через $O$. Пусть $\angle NOA_1=\alpha$.
Полагая $\phi=\dfrac{2\pi}{n}$, имеем
$$
S=R^2\{\sin^2\alpha+\sin^2(\alpha+\phi)+\sin^2(\alpha+2\phi)+\ldots+\sin^2[\alpha+(n-1)\phi]\}.
$$
Требуется выяснить, зависит ли $S$ от $\alpha$. Ясно, что $S=\dfrac12R^2(n-T)$, где
$$
T=\cos2\alpha+\cos(2\alpha+2\phi)+\cos(2\alpha+4\phi)+\ldots+\cos[2\alpha+(2n-2)\phi].
$$
Вычислим сумму $T$. Из формулы Эйлера ясно, что $T$ является действительной частью суммы
$$
P=e^{i\cdot2\alpha}+e^{i(2\alpha+2\phi)}+e^{i(2\alpha+4\phi)}+\ldots+e^{i[2\alpha+(2n-2)\phi]}.
$$
Сначала вычислим $P$, пользуясь формулой для суммы членов геометрической прогрессии:
$$
P=e^{i\cdot2\alpha}\dfrac{1-e^{i\cdot2n\phi}}{1-e^{i\cdot2\phi}}.
$$
Но $2n\phi=2n\cdot\dfrac{2\pi}{n}=4\pi$, а $e^{i\cdot4\pi}=1$, поэтому $P=0$. Но тогда и $T=0$, т. е. $S=\dfrac12R^2n$.
Отсюда видно, что сумма $S$ не зависит от выбора прямой $MN$.
Мнимые числа и задача Птолемея
Формула Эйлера и её следствия позволяют найти новый способ для решения одной задачи, которую впервые решил во втором веке нашей эры древнегреческий геометр и астроном Клавдий Птолемей.
Рис. 8
Задача 2. Пусть в окружность вписан выпуклый четырёхугольник $A_1A_2A_3A_4$ (рис. 8). Требуется выразить сумму произведений противоположных сторон через диагонали четырёхугольника.
Решение. Будем считать, что центр окружности взят в качестве начала координат и что при обходе окружности против часовой стрелки мы последовательно встречаем вершины $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$. Их комплексные координаты обозначим через $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$. Пусть $z_k=Re^{i\alpha_k}$, где $k=1$, 2, 3, 4.
Теперь мы воспользуемся ранее выведенными формулами (см. упр. 8, 12):
$$
\begin{gather*}
A_1A_2\cdot A_3A_4+A_2A_3\cdot A_4A_1=|z_2-z_1|\cdot|z_4-z_3|+|z_3-z_2|\cdot|z_4-z_1|=\\
\\[-.5em]
=\dfrac{z_2-z_1}{ie^{i\frac{\scriptstyle\alpha_1+\alpha_2}{\scriptstyle2}}}\cdot\dfrac{z_4-z_3}{ie^{i\frac{\scriptstyle\alpha_3+\alpha_4}{\scriptstyle2}}}+\dfrac{z_3-z_2}{ie^{i\frac{\scriptstyle\alpha_2+\alpha_3}{\scriptstyle2}}}\cdot\dfrac{z_4-z_1}{ie^{i\frac{\scriptstyle\alpha_1+\alpha_4}{\scriptstyle2}}}=\dfrac{-z_1\cdot z_4-z_2\cdot z_3+z_3\cdot z_4+z_1\cdot z_2}{i^2e^{i\frac{\scriptstyle\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4}{\scriptstyle2}}}=\\
\\[-.5em]
=\dfrac{(z_4-z_2)(z_3-z_1)}{ie^{i\frac{\scriptstyle\alpha_2+\alpha_4}{\scriptstyle2}}\cdot ie^{i\frac{\scriptstyle\alpha_1+\alpha_3}{\scriptstyle2}}}=
|z_4-z_2|\cdot|z_3-z_1|=A_2A_4\cdot A_1A_3.
\end{gather*}
$$
Итак, в каждом вписанном выпуклом четырёхугольнике сумма произведений противоположных сторон равна произведению его диагоналей.
Теорема Птолемея доказана.
Задача 3. Может ли произведение диагоналей выпуклого четырёхугольника $A_1A_2A_3A_4$ быть больше, чем сумма произведений противоположных сторон?
Решение. Мы уже пользовались тождеством, верным для любых комплексных чисел $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$:
$$
(z_2-z_1)(z_4-z_3)+(z_3-z_2)(z_4-z_1)=(z_4-z_2)(z_3-z_1).
$$
Опираясь на свойства модулей комплексных чисел, получим
$$
|z_4-z_2|\cdot|z_3-z_1|\le|z_2-z_1|\cdot|z_4-z_3|+|z_3-z_2|\cdot|z_4-z_1|,
$$
т. е. всегда $A_1A_3\cdot A_2A_4\le A_1A_2\cdot A_3A_4+A_2A_3\cdot A_1A_4$.
Мы доказали такое дополнение к теореме Птолемея: в каждом четырёхугольнике произведение диагоналей не больше суммы произведений его противоположных сторон.
Комплексный множитель как оператор поворота и растяжения
Остановимся ещё на одном важном геометрическом толковании комплексного числа.
Рис. 9
Пусть на плоскости имеется вектор $\bm{OZ}$ (рис. 9), и пусть $z$ — его комплексная координата. Повернём вектор $\bm{OZ}$ вокруг его начала $O$ на угол $\alpha$ (против часовой стрелки, если $\alpha\gt0$, и по часовой стрелке, если $\alpha\lt0$) и растянем этот вектор (не меняя его начала) с коэффициентом растяжения $\rho$. В результате мы получим новый вектор $\bm{OW}$; его комплексную координату обозначим через $w$. Как выражается число $w$ через $z$, $\alpha$, $\rho$?
Пусть $z=re^{i\phi}$. Ясно, что $|w|=\rho r$, $\mathop{\textrm{Arg}}w=\alpha+\phi$. Поэтому $w=(\rho r)e^{i(\alpha+\phi)}=(\rho e^{i\alpha})(re^{i\phi})$. Обозначим через $c$ комплексное число $\rho e^{i\alpha}$. Тогда $w=c\cdot z$.
Таким образом, если вектор $\bm{OZ}$ подвергнуть операциям поворота на угол $\alpha$ и растяжения с коэффициентом растяжения $\rho$, то его комплексная координата $z$ умножится на комплексное число $c=\rho e^{i\alpha}$. Обратно, если комплексную координату $z$ некоторого вектора $\bm{OZ}$ умножить на комплексное число $c=\rho e^{i\alpha}$, то новое число $w=c\cdot z$ представляет собой координату вектора $\bm{OW}$, полученного из вектора $\bm{OZ}$ путём поворота на угол $\alpha$ и растяжения с коэффициентом $\rho$.
Можно короче сказать так: умножение на комплексное число $c$ действует как оператор поворота на угол $\alpha=\mathop{\textrm{Arg}}c$ и растяжения с коэффициентом растяжения, равным $|c|$.
Понятно, что сделанный выше вывод легко обобщается на тот случай, когда началом вектора служит не начало координат. Например, если векторы $\bm{KL}$ и $\bm{MN}$ имеют комплексные координаты $z$ и $w$, причём $w=-3i\cdot z$, то это означает, что после поворота вектора $\bm{KL}$ на угол $-\dfrac\pi2$ радиан $\left(\mathop{\textrm{Arg}}(-3i)=-\dfrac\pi2\right)$ и растяжения с коэффициентом 3 (так как $|-3i|=3$) получим вектор, равный вектору $\bm{MN}$.
Особо отметим случай, когда $|c|=1$. Такому комплексному числу $c$ (оно имеет вид $e^{i\alpha}$) соответствует оператор поворота. Например, комплексному числу $i$ $\left(i=e^{i\frac{\scriptstyle\pi}{\scriptstyle2}}\right)$ соответствует оператор поворота на угол $90^\circ$ $\Big(\dfrac\pi2$ радиан$\Big)$ в положительном направлении.
Рис. 10
Упражнение 13. Дан квадрат $OABC$ (рис. 10). Вектор $\bm{OA}$ имеет комплексную координату $z=3-i$. Вычислите комплексные координаты векторов $\bm{OB}$ (обозначим её через $w_1$), $\bm{AC}$ ($w_2$).
Решение. Вектор $\bm{OB}$ получается из $\bm{OA}$ поворотом на угол $+\dfrac\pi4$ радиан и растяжением с коэффициентом растяжения $\sqrt2$. Поэтому
$$
w_1=\sqrt2e^{i\frac\pi4}\cdot z=\sqrt2\left(\cos\dfrac\pi4+i\sin\dfrac\pi4\right)(3-i)=
(1+i)(3-i)=4+2i.
$$
Если вектор $\bm{OB}$ повернуть на $90^\circ$ в положительном направлении, то получим вектор, равный вектору $\bm{AC}$. Поэтому $w_2=iw_1=i\cdot(4+2i)=-2+4i$.
Рис. 11
Упражнение 14. На рисунке 11 $Z_1C=CZ_2=CZ$, $CZ\perp Z_1Z_2$. Известны комплексные координаты $z_1$ и $z_2$ точек $Z_1$ и $Z_2$. Вычислите комплексную координату $z$ точки $Z$.
Решение. Вектор $\bm{OC}$ имеет комплексную координату $\dfrac12(z_1+z_2)$. Вектор $\bm{CZ}$ получается из вектора $\bm{CZ}_2$ поворотом на $+\dfrac\pi4$ радиан. Но вектор $\bm{CZ}_2$ имеет комплексную координату $\dfrac12(z_2-z_1)$, поэтому комплексная координата вектора $\bm{CZ}$ равна $i\cdot\dfrac12(z_2-z_1)$. Из равенства $\bm{OZ}=\bm{OC}+\bm{CZ}$ находим
$$
z=\dfrac12(z_1+z_2)+\dfrac12i(z_2-z_1).
$$
Теперь покажем, как операторное толкование комплексного числа может быть использовано при решении планиметрических задач.
Рис. 12
Задача 4. На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ (рис. 12) построены квадраты $ABB_1A_1$ и $ACC_1A_2$, перекрывающиеся с этим треугольником. Верно ли, что медиана $AM$ перпендикулярна $A_1A_2$? Вычислите также отношение $A_1A_2:AM$.
Решение. Рассмотрим на плоскости декартову систему координат $xAy$ с началом в вершине $A$. Обозначим комплексные координаты векторов $\bm{AB}$, $\bm{AC}$, $\bm{AM}$ и $\bm{A}_2\bm{A}_1$, через $b$, $c$, $m$ и $w$.
Тогда $m=\dfrac12(b+c)$. Вектор $\bm{AA}_1$ получается из вектора $\bm{AB}$ поворотом на $+\dfrac\pi2$ радиан. Поэтому $\bm{AA}_1$ (а также точка $A_1$) имеет комплексную координату $ib$. Аналогично находим, что точка $A_2$ имеет комплексную координату $-ic$. Поэтому $w=ib-(-ic)=i(b+c)$. Таким образом, $w=2im$. А это значит, что $A_2A_1\perp AM$ и $A_2A_1:AM=2$.
Задача 5. На сторонах треугольника $A_1A_2A_3$ (рис. 13) построили квадраты, не имеющие с треугольником общих внутренних точек; в квадратах отметили их центры $B_1$, $B_2$, $B_3$. Проверьте справедливость подсказываемых чертежом соотношений: $B_1B_2=A_3B_3$, $B_1B_2\perp A_3B_3$.
Рис. 13
Решение. Выберем в плоскости треугольника декартову систему координат $xOy$. Комплексные координаты точек $A_1$, $A_2$, $A_3$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ и векторов $\bm{B}_1\bm{B}_2$ и $\bm{A}_3\bm{B}_3$ обозначим соответственно через $a_1$, $a_2$, $a_3$, $b_1$, $b_2$, $b_3$, $z$ и $w$. Выразим $z$ и $w$ через $a_1$, $a_2$, $a_3$. Имеем $z=b_2-b_1$, $w=b_3-a_3$. Найдём $b_2$ (как в упр. 14):
$$
b_2=\dfrac{a_3+a_1}{2}+i\dfrac{a_3-a_1}{2}.
$$
Теперь нетрудно подсчитать, что
$$
\begin{align*}
z&=\dfrac{a_1-a_2}{2}+i\dfrac{2a_3-a_1-a_2}{2},\\
w&=\dfrac{a_2+a_1-2a_3}{2}+i\dfrac{a_1-a_2}{2}.\\
\end{align*}
$$
Отсюда видно, что $w=iz$. Это означает, что при повороте вектора $\bm{B}_1\bm{B}_2$ на $90^\circ$ против часовой стрелки получим вектор, равный вектору $\bm{A}_3\bm{B}_3$. Но в таком случае $A_3B_3=B_1B_2$, $A_3B_3\perp B_1B_2$.
Задача 6. Вершины каждого из двух правильных треугольников на плоскости пронумерованы против часовой стрелки. Вершины с одинаковыми номерами соединены отрезками. Докажите, что середины этих отрезков являются вершинами правильного треугольника (который может выродиться в точку).
Решение. Пусть $A_1A_2A_3$ и $B_1B_2B_3$ — данные треугольники, $C_1$, $C_2$, $C_3$ — середины отрезков $A_1B_1$, $A_2B_2$, $A_3B_3$ и $a_k$, $b_k$, $c_k$ (где $k=1$, 2, 3) — комплексные координаты рассматриваемых девяти точек. Тогда вектор $\bm{A}_1\bm{A}_3$ имеет комплексную координату $a_3-a_1$, а вектор $\bm{A}_1\bm{A}_2$ — комплексную координату $a_2-a_1$. Так как треугольник $A_1A_2A_3$ — правильный, то вектор $\bm{A}_1\bm{A}_3$ может быть получен из вектора $\bm{A}_1\bm{A}_2$ поворотом на $\dfrac\pi3$ радиан против часовой стрелки, поэтому
$$
a_3-a_1=e^{i\frac{\scriptstyle\pi}{\scriptstyle3}}(a_2-a_1).
$$
Из полученных соотношений следует, что $c_3-c_1=e^{i\frac{\scriptstyle\pi}{\scriptstyle3}}(c_2-c_1)$. Но это означает, что вектор $\bm{C}_1\bm{C}_3$ получается из вектора $\bm{C}_1\bm{C}_2$ поворотом на угол $+\dfrac\pi3$ радиан, т. е. $\triangle C_1C_2C_3$ — правильный.
Приложение. Реальные применения мнимых чисел
Мнимые числа обязаны своим рождением одной вполне реальной математической задаче — решению уравнений третьей степени. Правда, с квадратными корнями из отрицательных чисел математики встречались и раньше, ещё при решении квадратных уравнений. Решение наугад взятого уравнения вида
$$
x^2+px+q=0,\tag{1}
$$
где $p$, $q$ — «обычные», т. е. действительные числа, по общеизвестной формуле приводило иногда к
