а) Уравнение $4x+(x+1)^2=y^2$ можно переписать в виде $(x+3)^2-y^2=8$ или $$
(x+3+y)(x+3-y)=8.
$$
Поскольку $x+3+y\ge5$, левая часть последнего равенства могла бы иметь только вид $8\cdot1$, но и это невозможно, так как оба сомножителя $x+3+y$ и $x+3-y$, очевидно, числа одной чётности.
б), в) Решим сразу задачу в). Перепишем данное уравнение $4x^2+(x+1)^2=y^2$ в виде $(5x+1)^2-5y^2=-4$ или $$
z^2-5y^2=-4,\tag1
$$
где $z=5x+1$. Нам надо доказать, что уравнение (1) имеет бесконечно много решений $(z,y)$ в натуральных числах, причём число $z$ должно давать при делении на 5 остаток 1. Нетрудно проверить прямым вычислением, что если $(z,y)$ — такое решение, то и числа
$$
z'=161z+360y,\quad y'=72z+161y\tag2
$$
также удовлетворяют уравнению (1), причём $z'$ при делении на 5 даёт такой же остаток, как и $z$ (в частности, остаток 1 при $z=5x+1$). Таким образом, остаётся указать хотя бы одно решение (1) с $z=5x+1$. Простейшее из таких решений — $(z_0,y_0)=(1,1)$. Правда, ему отвечает $x_0=0$ (не натуральное число), но в дальнейшем пары $(z,y)$, последовательно получаемые из $(z_0,y_0)$ по формулам (2), уже будут давать решения исходной задачи: $z_1=161z_0+360y_0=521$ (или $x_1=104$), $y_1=72z_0+161y_0=233$ и т. д.
С первого взгляда приведённое решение кажется чрезвычайно искусственным. Однако на самом деле здесь был просто применён стандартный метод решения так называемого уравнения Пелля (частным случаем которого является наше уравнение (1)), описанный, например, в статье Н. Б. Васильева и В. Л. Гутенмахера «Пары чисел и действия с ними» (Квант, 1985, № 1, с. 20, 21).
г) Допустим, что данное уравнение имеет решение $(x,y)$, тогда
$$
4x^n=(y-x-1)(y+x+1).
$$
Сомножители в правой части имеют одинаковую чётность и, следовательно, чётны. Пусть $y-x-1=2a$, тогда $y+x+1=2(a+x+1)$, т. е. $x^n=a(a+x+1)$. Поскольку $a$ и $a+x+1$ — взаимно простые числа (любой их общий делитель должен одновременно делить $x^n$ и $x+1$), существуют такие натуральные числа $u$ и $v$, что $a =u^n$, $a+x+1=v^n$, $x = uv$. Но тогда при $n\ge3$
$$\begin{gather*}
uv+1=x+1=v^n-u^n=\\
=(v-u)(v^{n-1}+v^{n-2}u+\ldots+u^{n-1})\ge1+vu+1
\end{gather*}
$$
Полученное противоречие показывает, что исходное уравнение решений не имеет.
