Первое решение. Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$, $h_M$ и $h_N$ — расстояния от точек $M$ и $N$ до прямых $CD$ и $AB$, $a$ и $b$ — длины сторон $AB$ и $CD$ (рис. 1). Очевидно, прямые $BC$ и $AD$ параллельны тогда и только тогда, когда каждая из них параллельна средней линии $MN$ четырёхугольника, т. е. когда $S_{MNB}=S_{MNC}$ и $S_{MNA}=S_{MND}$. (Буквой $S$, как обычно, обозначены площади соответствующих треугольников.) А поскольку $S_{MNA}=S_{MNB}=\dfrac12\cdot\dfrac{AB}{2}\cdot h_N=\dfrac{ah_{N}}{4}$ и, аналогично, $S_{MNC}=S_{MND}=\dfrac{bh_M}{4}=\dfrac{ab}{8}$ (по условию $h_M=\dfrac a2$), прямые $BC$ и $AP$ параллельны тогда и только тогда, когда $h_N=\dfrac b2$, т. е. когда окружность с диаметром $CD$ касается $AB$.
Рисунок 1
Второе решение. Допустим сначала, что прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 2). Выполним последовательно симметрию относительно биссектрисы угла $AOD$ и гомотетию с центром $O$ и коэффициентом $\dfrac{OC}{OB}$ (так, чтобы точка $B$ перешла в $C$). При этом точка $A$ перейдёт в некоторую точку $D'$ на луче $OD$, а окружность с диаметром $AB$ — в окружность с диаметром $CD'$, которая, очевидно, касается прямой $AB$. Прямые $BC$ и $AD'$ параллельны, так как $\dfrac{OC}{OB}=\dfrac{OD'}{OA}$. Поэтому для завершения доказательства остаётся заметить, что окружность с диаметром $CD$ касается прямой $AB$ тогда и только тогда, когда $D=D'$
Рисунок 2
Случай $AB\parallel CD$ рассматривается аналогично: надо только за ось симметрии взять прямую, равноудалённую от $AB$ и $CD$, a гомотетию заменить параллельным переносом.
