Задача М841‍‍

Эта простая задача имеет несколько решений. Приведём только одно из них. Пусть $a$‍‍ и $b$‍‍ — длины катетов, $c$‍‍ — длина гипотенузы данного треугольника $ABC$‍;‍ $A_1$‍,‍ $B_1$‍‍ и $C_1$‍‍ — точки касания вписанной окружности со сторонами (см. рисунок). По теореме о равенстве касательных, проведённых к окружности из одной точки, $|AB_1|=|AC_1|$‍,‍ $|BC_1|=|BA_1|$‍‍ и $|CA_1|=|CB_1|$‍.‍ Отсюда следует, что $$ |AC_1|=\dfrac{c+b-a}{2}, \quad|BC_1|=\dfrac{c+a-b}{2}. $$ Поэтому $$\begin{gathered} |AC_1|\cdot|BC_1|=\dfrac{1}{4}\left(c+b-a\right)\left(c-(b-a)\right)=\\ =\dfrac{1}{4}\left(c^2-(b-a)^2\right)=\dfrac{1}{4}\left(c^2-b^2-a^2+2ab\right)=\dfrac{ab}{2}=S_{\triangle ABC} \end{gathered}$$ (мы воспользовались теоремой Пифагора).

В случае произвольного треугольника $ABC$‍‍ аналогичная выкладка приводит к такой формуле: $$ S_{\triangle ABC}=|AC_1|\cdot|BC_1|\cdot\ctg\dfrac{\widehat{C}}{2}. $$