Как это часто бывает, полезно начать решение с конца — последовательно преобразовывать доказываемое утверждение, заменяя его на эквивалентные, пока не получится утверждение, которое можно доказать непосредственно.
Очевидно, можно считать, что радиусы окружностей различны. При гомотетии с центром $S$, переводящей меньшую окружность в большую (см. рисунок), прямая $O_2A$ перейдёт в прямую $O_1L$. Следовательно, они параллельны и $\widehat{O_1AO_2}=\widehat{AO_1L}$; аналогично, $\widehat{M_1AM_2}=\widehat{AM_1L}$. Таким образом, равенство углов $\widehat{O_1AO_2}=\widehat{M_1AM_2}$ эквивалентно следующим утверждениям:
$$
\widehat{AO_1L}=\widehat{AM_1L};
$$ точки $A$, $L$, $O_1$, $M_1$ лежат на одной окружности;
$$\begin{gather*}
\widehat{O_1LA}+\widehat{AM_1O_1}=180^\circ;\\
\widehat{O_1LS}=\widehat{AM_1S};
\end{gather*}$$
треугольники $SLO_1$ и $SAM_1$ (с общим углом при вершине $S$) подобны;
$$
\dfrac{|SA|}{|SO_1|}=\dfrac{|SM_1|}{|SL|}.
$$
Для доказательства последнего равенства достаточно заметить, что $|SA|\cdot|SL|=|SP_1|^2=|SO_1|\cdot|SM_1|$ (первое равенство здесь — свойство касательной и секущей, второе — из подобия треугольников $P_1LS$ и $AP_1S$, а также из подобия треугольников $O_1P_1S$ и $P_1M_1S$).
Рисунок без номера
