«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Найдите наибольшее значение выражения $m^2+n^2$ для всевозможных пар $(m;n)$ натуральных чисел, таких что $1 \le m \le 1981$, $1 \le n \le 1981$ и $|n^2-mn-m^2|=1$.
Про функцию $f$, определённую на множестве всех пар неотрицательных целых чисел $(x;y)$, известно следующее:
для каждой пары…
Пусть $A$ — одна из точек пересечения двух окружностей с центрами $O_1$ и $O_2$, $P_1P_2$ и $Q_1Q_2$ — общие касательные, $M_1$ и $M_2$ — cepeдины хорд $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$ этих…
Пусть $a$, $b$, $c$ — целые положительные числа, каждые два из которых взаимно просты. Докажите, что наибольшее из целых чисел, не представимых в виде $$ xbc+yca+zab $$ (где $x$, $y$, $z$ — неотрицательные…
Можно ли выбрать 1983 натуральных числа, не превосходящих $10^5$, так, чтобы среди выбранных чисел не было ни одной тройки чисел, составляющих арифметическую прогрессию (т. е. ни одной тройки $a$, $b$, $c$, в которой $a+c=2b$)?