Ответ: $(x,y)=(1,1)$, $\left(\dfrac12,\dfrac12\right)$, $(2,2)$.
Представим числа $x$ и $y$ в виде несократимых дробей: $x=\dfrac{a}{b}$, $y=\dfrac{c}{d}$. Тогда $x+y=\dfrac{ad+bc}{bd}$ — натуральное число. Следовательно, $ad+bc$ делится на $b$, а так как $a$ и $b$ — взаимно простые числа, $d$ делится на $b$. С другой стороны, $ad+bc$ делится на $d$, поэтому $b$ делится на $d$. Отсюда вытекает, что $b=\pm d$.
Аналогично, $\dfrac1x+\dfrac1y=\dfrac{ad+bc}{ac}$ — натуральное число, поэтому $a=\pm c$. Таким образом, $x=y$ или $x=-y$. Второй случай невозможен, поскольку по условию $x+y\ge1$. В первом случае $x+y=2x=\dfrac{2a}{b}$ и $\dfrac2x=\dfrac{2b}{a}$ — натуральные числа, т. е. $a$ и $b$ — делители двойки, причём $\dfrac ab\gt 0$. Следовательно, $\dfrac{a}{b}=\dfrac11=1$, или $\dfrac{a}{b}=\dfrac12$, или $\dfrac{a}{b}=\dfrac21=2$.
