Задача М779‍‍‍

а) Легко видеть, что справедливо следующее неравенство: $\dfrac{x^2_{k-1}}{x_k}\ge4(x_{k-1}-x_k)$‍.‍ Действительно, умножив обе его части на (положительное) число $x_k$‍‍ и перенеся все члены влево, получаем очевидное соотношение: $x^2_{k-1}-4x_{k-1}x_k+4x_k^2=(x_{k-1}-2x_k)^2\ge0$‍.‍

Сложив доказанные неравенства для всех $k$‍‍ от 1 до $n$‍,‍ мы получим, что $$ \dfrac{x_0^2}{x_1}+\dfrac{x_1^2}{x_2}+\ldots+\dfrac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge4(x_0-x_n)=4(1-x_n).\tag{*} $$

Если последовательность $\{x_n\}$‍‍ стремится к нулю при $n\to\infty$‍,‍ то, как следует из (*), доказываемое неравенство выполняется при всех достаточно больших $n$‍.‍

Если же последовательность не стремится к нулю, то по теореме Вейерштрасса о существовании предела у ограниченной снизу монотонно убывающей последовательности $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a\gt0$‍.‍ Но тогда предел последовательности $\dfrac{x^2_{n-1}}{x_n}$‍‍ также равен $a$‍,‍ так как предел отношения равен отношению пределов числителя и знаменателя, если эти пределы существуют и предел знаменателя не равен нулю. Начиная с некоторого номера $N$‍‍ отношение $\dfrac{x^2_{n-1}}{x_n}$‍‍ будет отличаться от $a$‍‍ меньше, чем на $\dfrac a2$‍,‍ и следовательно, само будет больше, чем $\dfrac a2$‍.‍ Поэтому в левой части доказываемого неравенства можно набрать столько слагаемых, что сумма станет больше 4 (и вообще, любого заданного числа).

б) Ответ: искомая последовательность $\{x_n\}$‍‍ — это геометрическая прогрессия со знаменателем $\dfrac12$‍;‍ $x_n=\dfrac1{2^n}$‍,‍ $n=0$‍,‍ 1, 2, $\ldots$‍.‍ Для этой последовательности сумма в левой части равна $$ 2+1+\dfrac12+\ldots+\dfrac1{2^{n-2}}=4-\dfrac1{2^{n-2}}\lt4. $$

Замечание. Последовательность из пункта б) единственна. Действительно, как мы видели в решении пункта а), она должна обязательно стремиться к 0. Если она не совпадает с геометрической прогрессией $\left\{\dfrac1{2^n}\right\}$‍,‍ то $x_{k-1}\ne2x_k$‍‍ хотя бы при одном $k$‍,‍ поэтому величина $$ \delta=\dfrac{x^2_{k-1}}{x_k}-4(x_{k-1}-x_k)=\dfrac{(x_{k-1}-2x_k)^2}{x_k} $$ положительна. Но разность между левой и правой частями неравенства (*) при $n\ge k$‍‍ не меньше $\delta$‍.‍ Следовательно, при достаточно большом $n$‍‍ его левая часть будет больше 4.