Ответ: при $n=4k$ или $n=4k-1$, $k\in N$. Рассмотрим сумму $S=|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+\ldots+|a_n-a_1|$. По условию все $n$ составляющих её слагаемых различны и заключены между числами 1 и $n$, следовательно $S=1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}2$. С другой стороны, если заменить модули разностей чисел $a_i$ в этой сумме на сами разности с соответствующими знаками и привести подобные, каждое из чисел $a_1$, $\ldots$, $a_n$ будет входить в сумму с коэффициентом 2, $-2$ или 0 (так как любое из них содержится ровно в двух модулях). Следовательно, $S$ — чётное число. Но, поскольку $n$ и $n+1$ — числа разной чётности, число $\dfrac{n(n+1)}2$ будет чётным тогда и только тогда, когда $n$ или $n+1$ делится на 4, то есть $n=4k$ или $n=4k-1$, $k\in N$.
В обоих случаях нужный набор чисел может быть указан: см. рис. 1 для $n=4k$ и рис. 2 для $n=4k-1$. Для удобства на обоих рисунках числа $a_i$ расположены по окружности; на рисунке 1: $a_1=4k+1$, $a_2=1$, $a_3=4k$, $\ldots$, $a_n=2k+1$ (не используется $k+1$), на рисунке 2: $a_1=4k$, $a_2=1$, $a_3=4k-1$, $\ldots$, $a_n=2k$ (не используется $3k$). Заметим, что на обоих рисунках при движении по часовой стрелке начиная от $a_1$, числа, записанные внутри окружностей, возрастают, а записанные снаружи — убывают, причём «внутренние» числа меньше «внешних». Отсюда легко вывести, что указанные наборы удовлетворяют условиям задачи.
Рисунок номер 1
Рисунок номер 2
