а) Попробуем искать решения среди степеней одного и того же натурального числа $a$:
$x=a^k$, $y=a^e$, $z=a^m$ ($k$, $e$, $m$ — натуральные).
Подстановка таких $x$, $y$, $z$ в уравнение даёт равенство
$a^{2k}+a^{3e}=a^{5m}$. Легко видеть, что при $2k\ne3e$ такое равенство невозможно.
Поэтому $2a^{2k}=a^{5m}$. Отсюда следует, что $a=2$.
Положим $x=2^{3n}$, $y=2^{2n}$, при этом $x^2+y^3=2^{6n+1}$, и, следовательно,
число $6n+1$ должно делиться на 5.
А так как $6n+1$ делится на 5 только при $n=5s+4$ ($s\in\mathbb Z$, $s\ge0$), получаем
бесконечную серию решений:
$$
x=2^{15s+12},\quad y=2^{10s+8},\quad z=2^{6s+5}.
$$
б) Решается аналогично пункту а). Нужно искать решения,
для которых $x=3^{15n}$, $y=3^{10n}$, $z=3^{6n}$. После подстановки в уравнение
получим $3^{30n+1}=t^7$, но $30n+1$ делится на 7 при $n=7s+3$, $s\ge0$, $s\in\mathbb Z$. Нами получена бесконечная серия решений:
$$
x=3^{105s+45},\quad y=3^{70s+30},\quad z=3^{42s+18},\quad t=3^{30s+13}.
$$
Нетрудно заметить, что вообще уравнение $x_1^{a_1}+x_2^{a_2}+\ldots+x_n^{a_n}=y^b$
имеет бесконечное число решений в целых числах, если наименьшее общее кратное $M$ чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ взаимно просто с $b$. Так же как и в пунктах а) и б), решения можно искать в виде степеней числа $n$.
Положим $x_1=n^{\frac{\scriptstyle M}{\scriptstyle a_1}t}$, $\ldots$, $x_n=n^{\frac{\scriptstyle M}{\scriptstyle a_n}t}$, где $t\in\mathbb N$.
После подстановки $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ в уравнение, получим равенство
$n^{Mt+1}=y^b$, а так как $M$ и $b$ взаимно простые,
существует бесконечное количество $t$,
при которых $Mt+1$ делится на $b$.
