На окружности отмечены $3k$ точек, разделяющих её на $3k$ дуг, из которых $k$ дуг имеют длину $1$, ещё $k$ дуг — длину $2$, и остальные $k$ дуг — длину $3$. Докажите, что среди отмеченных точек найдутся две диаметрально противоположные.
В. В. Произволов
Всесоюзная математическая олимпиада школьников (1982 год, 9 класс)
Поделим образовавшиеся на окружности дуги длины 2 и 3 на равные части длины 1 и пометим эти $k+2k=3k$ точек деления чёрным цветом, а данные по условию $3k$ точек — красным. Всего будет отмечено $6k$ точек — вершины правильного $6k$-угольника (рис. 1). Далее будем рассуждать от противного.
Предположим, что утверждение задачи неверно, тогда каждой красной точке данной окружности $L_0$ диаметрально противоположна отмеченная чёрная точка. Поэтому против каждой из $k$ дуг длины 1 с красными концами лежит дуга длины 1 с чёрными концами, т. е. средняя часть одной из $k$ дуг длины 3 с красными концами (см. рис. 1). Вырежем из окружности $L_0$ две такие противоположные единичные дуги и из двух оставшихся больших дуг сделаем новую окружность $L_1$ (рис. 2); она будет coстоять из $6k-2$ единичных дуг, концами которых служат $3k-1$ красных и столько же чёрных точек. При этом диаметрально противоположные точки окружности $L_0$ перейдут в противоположные точки окружности $L_1$, поэтому против каждой красной точки будет по-прежнему располагаться чёрная. Красные точки разделят $L_1$ на участки длины 1, 2 или 3, причём единичных участков будет $k-1$ — на 1 меньше, чем было до перестройки, двойных будет $k+1$ — на 1 больше, а тройных, как и единичных, — нa 1 меньше.
Рис. 1Рис. 2
Эту операцию выбрасывания двух дуг длины 1 можно проделать и с $L_1$, затем — с полученной окружностью $L_2$ и т. д., всего $k$ раз (столько, сколько имелось первоначально единичных — и противолежащих им тройных — дуг с красными концами). В итоге получится окружность $L_k$, составленная из дуг длины 1, концами которых служат $2k$ красных и $2k$ чёрных точек, причём против каждой красной точки будет, как и раньше, располагаться чёрная. С другой стороны, участков длины 1 или 3 с красными концами на $L_k$ уже не останется (на каждом шагу число тех и других уменьшалось на 1), т. е. красные точки будут разбивать $L_k$ на $2k$ участков равной длины (длины 2). Поэтому против каждой красной точки должна оказаться красная.
Требуемое противоречие получено.
Точно так же доказывается аналогичное утверждение для окружности, разбитой на $k$ единичных, $l$ двойных и $k$ тройных дуг, где $k+l$ — чётное число.
