Плоскости $PQA$, $PQB$ и $PQC$ разрезают параллелепипед на 6 долек — тетраэдров. (Один из них — тетраэдр $PQAD$ — выделен на рисунке красным цветом.) Мы докажем, что объём каждой «дольки» равен $\dfrac13dS$.
Рассмотрим, например, тетраэдр $PQAD$. Его объём не изменяется, если сдвинуть вершину $A$ по прямой $AA'$, параллельной диагонали $PQ$. В самом деле, вершины $P$, $Q$ и $D$ при этом остаются неподвижными, а расстояние от вершины $A$ до плоскости $PQD$ не меняется. Ясно, что и при перемещении точки $D$ вдоль прямой $DD'$, параллельной $(PQ)$, объём тетраэдра сохранится. Сдвинем теперь вершины $A$ и $D$ в точки $A'$ и $D'$ так, чтобы плоскость $PA'D'$ стала перпендикулярной диагонали $PQ$ (см. рисунок).
а) Поскольку отрезок $A'P$ перпендикулярен к прямой $PQ$, его длина равна расстоянию от точки $A'$ до этой прямой, то есть расстоянию от точки $A$ до $(PQ)$. Точно так же, длина отрезка $D'A'$ равна расстоянию от точки $D$ до прямой $AA'$. При параллельном переносе на $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AP}$ точка $D$ переходит в $B$, а прямая $AA'$ — в $(PQ)$, поэтому $|D'A'|$ — это расстояние от точки $B$ до $(PQ)$. Аналогично доказывается, что $|PD'|$ — это расстояние от точки $C$ до $(PQ)$. Таким образом, длины сторон треугольника $PA'D'$ равны расстояниям от точек $A$, $B$, $C$ до прямой $(PQ)$. По условию его площадь равна $S$.
б) Как мы видели, объём тетраэдра $PQAD$ равен объёму тетраэдра $PQA'D'$. Площадь основания $PA'D'$ этого тетраэдра равна $S$, а высота равна длине $d$ ребра $PQ$, так как оно перпендикулярно основанию. Таким образом, $V_{PQAD}=\dfrac13dS$, а объём параллелепипеда $V=6\cdot\dfrac13dS=2dS$.
