Задача М669‍‍

а) Поскольку $\widehat{NMP}=\dfrac{1}{4} (\uduga{BC}+\uduga{CD})=\dfrac{1}{2}\widehat{A}$‍,‍ $\widehat{MNQ}=\dfrac{1}{4}(\uduga{AB}+\uduga{AD})=\dfrac{1}{2}\widehat{C}$‍‍ (рис. 1), $\widehat{NMP}+\widehat{MNQ}=\dfrac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{C})=90^\circ$‍,‍ откуда следует утверждение а).

б) Очевидно, $O_1=[AN]\cap [CM]$‍,‍ $O_2=[BP]\cap [DN]$‍,‍ $O_3=[AP]\cap [CQ]$‍,‍ $O_4=[BQ]\cap [DM]$‍‍ — центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники $ABC$‍,‍ $BCD$‍,‍ $CDA$‍‍ и $DAB$‍‍ (рис. 2).

Треугольники $BMN$‍‍ и $MO_1N$‍‍ конгруэнтны, так что $|BN|=|NO_1|$‍.‍ Аналогично, $|CN|=|NO_2|$‍.‍ Но $|BN|=|CN|$‍;‍ следовательно, треугольник $O_1NO_2$‍‍ — равнобедренный, в котором $[NQ]$‍‍ является биссектрисой. Поэтому $[NQ]\perp [O_1O_2]$‍;‍ значит, $[O_1O_2]\parallel [MP]$‍.‍

Аналогично доказывается, что $[O_3O_4]\parallel [MP]$‍‍ и $[O_1O_4]\parallel [NQ]\parallel [O_2O_3]$‍.‍ Таким образом, четырёхугольник $O_1O_2O_3O_4$‍‍ — прямоугольник.