На сторонах данного угла $\widehat{A}$ отложим данные нам отрезки $AD$ длины $d$ и $AE$ длины $e$. Теперь нужно на этих сторонах (за точками $D$ и $E$) найти такие точки $B$ и $C$, что $|BD|=|BC|=|CE|$.
Чтобы это сделать, построим вначале фигуру, гомотетичную искомому четырёхугольнику $BCED$. Для этого (рис. 1) отложим на прямой $AD$ (на луче, не содержащем $A$) отрезок $DB_1$ любой длины $q$, затем параллельно перенесём луч $[DE)$ на вектор $\overrightarrow{q}$ той же длины $q$, направленный параллельно $[AE)$, после чего на полученном луче $l$ отметим точку $C_1$, для которой $|B_1C_1|=q$. Очевидно, четырёхугольник $B_1C_1E_1D$ подобен искомому четырёхугольнику $BCED$. Проведя теперь через точку $E$ прямую, параллельную $B_1E_1$, найдём точку $B$; проведя затем через точку $B$ прямую, параллельную $B_1C_1$, найдём точку $C$. (Легко видеть, что все построения всегда выполнимы, причём единственным образом.)
Рис. 1Рис. 2
Вот ещё одно решение — не использующее метод подобия. Если $O$ — центр окружности, вписанной в искомый треугольник $ABC$, то треугольники $BOD$, $BOC$ и $COE$ конгруэнтны (рис. 2). Все углы, отмеченные при вершине $O$, равны $90^\circ+\dfrac{\widehat A}2$. Поэтому $\widehat{DOE}=90^\circ-\dfrac{3\widehat A}2$ (эта величина положительна при $\widehat A\lt60^\circ$. Теперь можно построить точку $O$ как пересечение биссектрисы угла $A$ и дуги сегмента с концами $D$, $E$, вмещающeго вписанный угол величины $90^\circ-\dfrac{3\widehat A}2$ (красная дуга на рисунке 2). Затем, проведя под нужными углами к отрезкам $DO$ и $EO$ лучи $OB$ и $OC$, находим две вершины треугольника $ABC$.
Наконец, задачу можно решить и вычислением: длина искомого отрезка $x=|BD|=|BC|=|CE|$ находится из квадратного уравнения
$$
x^2=(x+d)^2+(x+e)^2-2(x+d)(x+e)\cos\widehat A,
$$
после чего искомый отрезок можно построить (исходя из $d$, $e$ и $\widehat{A}$) циркулем и линейкой, комбинируя известные методы построения по данным отрезкам длины $p$ и $q$ и углу $\alpha$ отрезков длины $p\cos\alpha$, $p\pm q$, $\sqrt{pq}$, $\sqrt{p^2\pm q^2}$ . Интересно, что отрицательный корень этого уравнения также имеет геометрический смысл: он определяет положение ещё одной пары точек $B_2\in [DA)$, $C_2\in [EA)$, для которых $|B_2D|=|B_2C_2|=|C_2E|$.
