Задача М658‍‍

Сумма длин границ всех частей, на которые квадрат разбит отрезками, равна $2\cdot18+4=40$‍‍ (длины проведённых отрезков входят в эту сумму по два раза, длины сторон квадрата — по одному). Пусть для $i$‍‍-й части сумма длин горизонтальных границ равна $2x_i$‍,‍ вертикальных — $2y_i$‍,‍ а площадь $i$‍‍-й части равна $c_i^2$‍‍ ($c_i\gt0$‍);‍ тогда $x_iy_i\ge c_i^2$‍‍ (рис. 2), поэтому $x_i+y_i\ge2\sqrt{x_iy_i}\ge2c_i$‍.‍ Итак, $$ \textstyle40=\sum{}(2x_i+2y_i)\ge4\sum c_i, $$ откуда $\sum c_i\le10$‍‍ (здесь сумма $\sum$‍‍ берётся по всем частям разбиения).

Если $c_i^2\lt0{,}01$‍‍ (т. е. $c_i\lt0{,}1$‍)‍ для всех $i$‍,‍ то $1=\sum c_i^2\lt\sum0{,}1c_i=0{,}1\sum c_i$‍,‍ откуда $\sum c_i\gt10$‍.‍ Противоречие. Очевидно, оценка 18 — точная: восемнадцатью отрезками длины 1 наш квадрат можно разбить на 100 одинаковых квадратиков площади $0{,}01$‍‍ каждый.