Берзиньш Айвар Артурович / Авторы задач / Задачи // Архив журнала «Квант»

Условия задач‍‍

Задача М459
В некоторой стране из каждого города в любой другой можно проехать, минуя остальные города. Известна стоимость каждого такого проезда. Составлены два маршрута поездки по городам страны. В каждый из этих маршрутов каждый город входит ровно по одному разу. При составлении первого маршрута…
Задача М525
Докажите, что для любого тетраэдра существуют такие две плоскости, что отношение площадей проекций тетраэдра на эти плоскости не меньше $\sqrt{2}$‍.‍
Задача М752
Квадратная таблица $n\times n$‍‍ клеток заполнена целыми числами. При этом в клетках, имеющих общую сторону, записаны числа, отличающиеся одно от другого не больше, чем на 1. Докажите, что хотя бы одно число встречается в таблице:
1. не менее, чем…
Задача М826
На доске написали три числа. Затем одно из них стёрли и вместо него написали сумму двух других чисел, уменьшенную на единицу. Эту операцию повторили несколько раз и в результате получили числа 17, 1967, 1983. Могли ли первоначально быть написаны числа
1. 2, 2,…
Задача М873
Учитель написал на доске квадратный трёхчлен $x^2+10x+20$‍.‍ Затем каждый ученик по очереди увеличивал или уменьшал на единицу по своему выбору один из младших коэффициентов (коэффициент при $x$‍‍ или свободный член), но не оба сразу. В результате получился трёхчлен…
Задача М944
Правильный шестиугольник разбит на 24 равных треугольника, как на рисунке 2. Во всех 19 узлах образовавшейся фигуры записаны различные числа. Докажите, что среди 24 треугольников разбиения имеется по крайней мере 7 таких, в вершинах которых тройки чисел записаны в порядке возрастания против…
Задача М1112
На доске написаны два числа: 1 и 2. Разрешается дописывать новые числа следующим образом: если на доске имеются числа $a$‍‍ и $b$‍,‍ то можно написать число $ab+a+b$‍.‍ Можно ли этим способом получить
1. число 13121;…
Задача М1182
В некоторой роще было $n\ge3$‍‍ скворечников, причём все расстояния между скворечниками различны. В каждом из них жило по скворцу. В какой-то момент некоторые из них покинули свои скворечники и перелетели в другие, так что снова в каждом скворечнике оказалось по скворцу. При этом, если…
Задача М1243
1. На доске записано уравнение $*x^2+*x+*=0$‍.‍ Первый из двух играющих называет любые три числа, второй расставляет их по своему выбору вместо звёздочек. Может ли первый добиться, чтобы полученное уравнение имело различные рациональные корни, или второй всегда…
Задача М1298
Текст задачи готовится
Задача М1346
Текст задачи готовится
Задача М1649
Текст задачи готовится

Решение задачи

Задача М658
В квадрате со стороной 1 проведено конечное число отрезков, параллельных его сторонам. Отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин проведённых отрезков равна 18. Докажите, что среди частей, на которые квадрат разбивается этими отрезками, найдётся такая, площадь которой не меньше…

Айвар Артурович Берзиньш‍13

Условия задач‍‍

Решение задачи