$\def\n#1{\hphantom{00}\mathllap{#1}}
\def\t#1{\hphantom0\mathclap{#1}\hphantom0}
\def\+{\t+}\def\-{\t-}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\\[-6pt]
\t{A}&1&2&2^2&2^3&2^4\\\\[-6pt]\hline\\[-6pt]
\n1&\+&&&&\\
\n2&&\+&&&\\
\n3&\-&&\+&&\\
\n4&&&\+&&\\
\n5&\+&&\+&&\\
\n6&&\-&&\+&\\
\n7&\-&&&\+&\\
\n8&&&&\+&\\
\n9&\+&&&\+&\\
\n{10}&&\+&&\+&\\
\n{11}&\-&&\-&&\+\\
\n{12}&&&\-&&\+\\
\n{13}&\+&&\-&&\+\\
\n{14}&&\-&&&\+\\
\n{15}&\-&&&&\+\\
\n{16}&&&&&\+\\
\n{17}&\+&&&&\+\\
\n{18}&&\+&&&\+\\
\n{19}&\-&&\+&&\+\\
\n{20}&&&\+&&\+\\
\n{21}&\+&&\+&&\+\\[-6pt]\\\hline
\end{array}$
Рассматривая требуемые представления
$$
A=a_0+2a_1+2^2a_2+\ldots+2^na_n\tag{*}
$$
($a_k=0$, $\pm1$, $a_{k+1}=0$) для нескольких первых натуральных чисел, нетрудно заметить, что
- последний знак $+$ стоит при $2^n$ (старшая цифра $a_n=+1$) для чисел $A$ от $2^n-2^{n-2}-2^{n-4}-\ldots$ до $2^n+2^{n-2}+2^{n-4}+\ldots$ (например, в нашей таблице на полях последний знак $+$ стоит при $2^3$ для чисел $A$ от $2^3-2=6$ до $2^3+2=10$, при $2^4$ — для чисел $A$ от $2^4-2^2-1=11$ до $2^4+2^2+1=21$ и т. д.);
- первый знак (младшая цифра $a_0\neq0$) периодически повторяется с периодом 4, т. е. зависит лишь от остатка при делении $A$ на 4 ($a_0=0$ повторяется даже чаще — с периодом 2).
На этих двух наблюдениях построены два доказательства нужного представления (*) и его единственности. Оба эти доказательства проводятся по индукции, т. е. справедливость утверждения для данного числа $A$ выводится из его справедливости для всех чисел, меньших $A$.
1°. Обозначим через $M_n$ число $2^n+2^{n-2}+2^{n-4}+\ldots$ (последнее слагаемое здесь $2^1=2$ при нечётном $n$ и $2^0=1$ при чётном $n$). Докажем, что каждое число $A\lt M_n$ представляется в виде (*) единственным образом, причём $a_n=1$ для чисел
$$
2^n-M_{n-2}\lt A\lt2^n+M_{n-2}=M_n.\tag1
$$
Мы можем (поскольку мы доказываем по индукции) считать наше утверждение доказанным для чисел $A$, не превосходящих $M_{n-2}$. Пользуясь этим, мы получим представление (*) для любого целого числа $A$ из промежутка (1). В самом деле, либо $A=2^n$, либо $1\lt A-2^n\lt M_{n-2}$, либо $1\lt 2^n-A\lt M_{n-2}$. Добавляя к $2^n$ представление числа $A-2^n$ или вычитая из него представление числа $2^n-A$, мы получим представление (*) для $A$.
Заметим, что $$
2^n-M_{n-2}-1=M_{n-1};\tag2
$$
это равенство становится очевидным, если записать его так:
$$
2^n-1=M_{n-2}+M_{n-1}=2^n-1+2^{n-2}+2^{n-3}+\ldots+1.
$$
Как видно из равенства (2), промежутки (1) для $n=1$, 2, 3, $\ldots$ не перекрываются и заполняют все множество натуральных чисел $\mathbb{N}$, поэтому представление (*) существует для любого $A$. Отсюда ясна также его единственность: по данному $A\in\mathbb{N}$ однозначно определяется разряд $n$ старшей цифры $a_n=1$, а добавок $|2^n-A|$ представляется единственным образом по предположению индукции.
2°. Если $A$ чётно, то $a_0=0$ и представление (*) числа $A=2m$ получается из представления меньшего числа $m$ «сдвигом» на один разряд. Если $A$ нечётно, то $a_0=\pm1$ и $a_1$ должно равняться нулю; поэтому число $A-a_0$ делится на 4 и представление (*) числа $A=4m+a_0$ получается из представления меньшего числа $m$ «сдвигом» на два разряда и добавлением слева цифры $a_0$. Во всех этих случаях единственность представления числа $A$ следует из единственности представления числа $m$.
Единственность представления числа 1 очевидна: если $n\gt1$, $|a_n|=1$, то $$
|a_0+a_1\cdot2+\ldots+a_n\cdot2^n|\gt2^n-(2^{n-2}+2^{n-4}+\ldots)\gt2.
$$
