Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$ с центром $O$. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $CD$ и $DE$. Прямые $AM$ и $BN$ пересекаются в точке $L$. Докажите, что:
треугольник $ABL$ и четырёхугольник $DMLN$ имеют равные площади;
Все утверждения задачи нетрудно получить из одного наблюдения: при повороте на $60^\circ$ вокруг центра $O$ четырёхугольник $AMCB$ отображается на четырёхугольник $BNDC$.
Действительно, при повороте $R_O^{60^\circ}$ (против часовой стрелки) точка $A$ переходит в точку $B$, точка $B$ — в точку $C$, сторона $CD$ отображается на сторону $DE$, так что середина $M$ стороны $CD$ переходит в середину $N$ стороны $DE$ (см. рисунок). Следовательно, четырёхугольники $AMCB$ и $BNDC$ конгруэнтны, так что площади их равны. Вычитая из этих равных площадей площадь четырёхугольника $BCML$, получим равные площади, т. е. треугольник $ABL$ и четырёхугольник $DMLN$ равновелики.
Так как при повороте $R_O^{60^\circ}$ луч $AM$ отображается на луч $BN$, угол между направлениями этих лучей равен углу поворота, т. е. $\widehat{ALB}=60^\circ$. Следовательно, $\widehat{ALN}=120^\circ$. Приведём два доказательства того, что $\widehat{ALO}=\widehat{OLN}=60^\circ$ и $\widehat{OLD}=90^\circ$.
1°. Воспользуемся таким очевидным фактом: если две прямые, пересекающиеся в точке $K$, равноудалены от точки $P$, то прямая $PK$ служит биссектрисой угла между этими прямыми (содержащего точку $P$). Поскольку точка $O$ равноудалена от прямых $AM$ и $BN$, $OL$ — биссектриса угла $ALN$, т. е. $\widehat{ALO}=\widehat{OLN}=60^\circ$. Поскольку точка $D$ удалена от прямых $AM$ и $BN$ одинаково (на такое же расстояние, как $C$ — от прямой $AM$), $\widehat{NLD}=\widehat{DLM}=30^\circ$, т. е. $\widehat{OLD}=90^\circ$.
2°. Около четырёхугольника $DMON$ можно описать окружность, так как углы при его вершинах $M$ и $N$ — прямые. Точка $L$ также принадлежит этой окружности. Это следует из того, что в четырёхугольнике $DMLN$ сумма углов при вершинах $D$ и $L$ равна $180^\circ$. Заметив, что $\widehat{ODN}=60^\circ$, применим теорему о вписанном угле. Тогда получим $\widehat{OLN}=\widehat{ODN}=60^\circ$ и $\widehat{OLD}=\widehat{OMD}=90^\circ$.
