Готман Эдгар Готлибович / Авторы задач / Задачи // Архив журнала «Квант»

Условия задач‍‍

Задача М224
У трёхгранного угла проведены биссектрисы плоских углов. Докажите, что попарные углы между тремя этими биссектрисами все тупые, либо все острые, либо все прямые.
Задача М263
Даны два числа $p$‍‍ и $q$‍,‍ большие 1. На сторонах $BC$‍‍ и $DC$‍‍ прямоугольника $ABCD$‍‍ берутся точки $P$‍‍ и $Q$‍‍ так, что $|BC|=p\cdot|BP|$‍‍ и $|DC|=q\cdot|DQ|$‍.‍ При каком отношении длин сторон…
Задача М316
1. Докажите, что сумма квадратов $k$‍‍ последовательных натуральных чисел не может быть квадратом целого числа, если $k$‍‍ равно 3, 5, 7 или 9.
2. Придумайте 11 последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых есть квадрат…
Задача М326
Хорда окружности удалена от центра на расстояние $h$‍.‍ В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, две другие — на хорде (рис. 1). Чему равняется разность длин сторон этих квадратов?
Задача М641
Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$‍‍ с центром $O$‍.‍ Точки $M$‍‍ и $N$‍‍ — середины сторон $CD$‍‍ и $DE$‍.‍ Прямые $AM$‍‍ и $BN$‍‍ пересекаются в точке $L$‍.‍ Докажите, что:
Задача М761
Через произвольную точку $P$‍‍ на стороне $AC$‍‍ треугольника $ABC$‍‍ параллельно его медианам $AK$‍‍ и $CL$‍‍ проведены прямые, пересекающие стороны $BC$‍‍ и $AB$‍‍ в точках $E$‍‍ и…
Задача М908
На стороне $AB$‍‍ треугольника $ABC$‍‍ выбирается точка $P$‍,‍ и через неё проводятся прямые, параллельные $BC$‍‍ и $AC$‍,‍ до пересечения со сторонами $AC$‍‍ и $BC$‍‍ соответственно в точках $M$‍‍ и…
Задача М976
Из вершины $A$‍‍ квадрата $ABCD$‍‍ проведены два луча, образующие между собой угол $45^\circ$‍.‍ Один пересекает сторону $BC$‍‍ в точке $E$‍,‍ диагональ $BD$‍‍ — в точке $P$‍,‍ другой — сторону $CD$‍‍ в точке…
Задача М1124
Боковые стороны, диагонали и продолжения оснований трапеции пересекают прямую $l$‍‍ в шести точках, т. е. высекают на прямой $l$‍‍ пять отрезков.
1. Докажите, что если крайние (1-й и 5-й) отрезки равны, то соседние с ними (2-й и…
Задача М1146
Точка $K$‍‍ — середина стороны $AB$‍‍ равностороннего треугольника $ABC$‍.‍ На сторонах $AC$‍‍ и $BC$‍‍ взяты точки $M$‍‍ и $N$‍‍ так, что $\angle MKN=60^{\circ}$‍.‍ Докажите, что периметр треугольника…
Задача М1361
Текст задачи готовится

Эдгар Готлибович Готман‍12

Условия задач‍‍

Решение задачи