Условие задачи (1980, № 7) Задача М634 // Квант. — 1980. — № 7. — Стр. 22; 1981. — № 4. — Стр. 26.
Обозначим через
- Существует ли натуральное
$n$ такое, что$n+S(n)=1980$? - Докажите, что хотя бы одно из любых двух последовательных натуральных чисел представимо в виде
$n+S(n)$ для некоторого третьего натурального числа$n$.
Изображения страниц
Решение задачи (1981, № 4) Задача М634 // Квант. — 1980. — № 7. — Стр. 22; 1981. — № 4. — Стр. 26.
- Ответ. Существует:
$n=1962$. Как до этого догадаться, видно из решения пункта б) этой задачи. Обозначим
$n+S(n)$ через$S(n)$. Легко видеть, что если$n$ оканчивается на цифру 9, то$S_{n+1} \lt S_n$; в противном случае$S_{n+1}=S_n+2$. Докажем, что для любого
$m \in \mathbb{N}$ хотя бы одно из чисел$m$, $m+1$ равно$S_n$ для некоторого$n$. Так как$S_1=2$, для$m=1$ и$m=2$ утверждение задачи верно. Если$m \gt 2$, то существуют$S_n$, меньшие$m$ (например,$S_1$), и в то же время при$n \ge m$ $S_n \gt n \ge m$. Следовательно, среди$n$ таких, что$S_n < m$, найдётся наибольшее — обозначим его через$N$. Тогда$S_{n+1} \ge m \gt S_N$, поэтому$N$ не может оканчиваться на цифру 9 и, значит,$S_{N+1}=S_N+2$. Следовательно,$m \le S_{N+1} \lt m+2$, поэтому число$S_{N+1}$ равно либо$m$, либо$m+1$ — требуемое доказано.