«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Докажите, что из любого выпуклого равностороннего (но не обязательно правильного) пятиугольника можно вырезать правильный треугольник, одна из сторон которого совпадает со стороной пятиугольника (рис. 2).
Дан квадрат со стороной 1. От него отсекают четыре уголка — четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют $\dfrac13$ их длины. С полученным восьмиугольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого…
В клетках прямоугольной таблицы размерами $m \times n$ записаны любые натуральные числа. За один ход разрешается удвоить все числа одной строки или же вычесть единицу из всех чисел одного столбца. Докажите, что за несколько ходов можно добиться, чтобы все числа стали равными нулю.
На конгрессе собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что никакие двое учёных, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Докажите, что найдётся учёный, у которого ровно один друг.
$N$ гирь, каждая из которых весит целое число граммов, разложены на $K$ равных по весу куч. Докажите, что можно не менее чем $K$ разными способами убрать одну из гирь так, что оставшиеся $(N - 1)$ гири уже нельзя разложить на…
Для каких $n$ существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из $n$ звеньев, что любая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?
Докажите, что существует бесконечно много натуральных $n$, для которых сумма цифр числа $2^n$ больше суммы цифр числа $2^{n+1}$.
Даны два натуральных числа $n$ и $m$, $n\gt m$. Докажите, что $n$ можно представить в виде суммы двух натуральных чисел, одно из которых — делитель числа $m$, а другое не имеет с $m$ ни одного общего делителя,…
В таблице размерами $m\times n$ записаны действительные числа, в каждой клетке по числу. В каждом столбце подчёркнуто $k$ наибольших чисел ($k\le m$), в каждой строке — $l$ наибольших чисел ($l\le n$). Докажите, что по крайней мере…
Дан многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами такой, что для каждого натурального $x$ выполняется неравенство $P(x)\gt x$. Определим последовательность $\{b_n\}$ следующим образом: $b_1=1$, $b_{k+1}=P(b_k)$ для $k\ge1$. Известно, что…
В волейбольном турнире каждые две команды сыграли по одному матчу.
Существуют ли
таких различных натуральных чисел, что для любых двух $a$ и $b$ из них сумма $a+b$ делится на разность $a-b$?
Докажите, что существует такая бесконечная ограниченная последовательность $\{x_n\}$, что для любых различных $m$ и $k$ выполнено неравенство $$ |x_m-x_k|\ge|m-k|^{-1}. $$
Докажите, что ни при каком натуральном $m$ число $1978^m-1$ не делится на $1000^m-1$.
Конечная последовательность $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ из чисел 0 и 1 должна удовлетворять следующему условию: для любого целого $k$ от 0 до $n-1$ сумма $$ a_1a_{k+1}+a_2a_{k+2}+\ldots+a_{n-k}a_n $$ является нечётным числом.
На химической конференции присутствовало $N$ учёных — химиков и алхимиков, причём химиков было больше, чем алхимиков. Известно, что на любой вопрос химики отвечают правду, а алхимики иногда говорят правду, иногда — лгут. Оказавшийся на конференции математик про каждого учёного…
Обозначим через $S(n)$ сумму всех цифр натурального числа $n$.
Можно ли все клетки какой-нибудь прямоугольной таблицы окрасить в белый и чёрный цвета так, чтобы белых и чёрных клеток было поровну, а в каждой строке и в каждом столбце было более $\dfrac34$ клеток одного цвета?
Существует ли последовательность различных натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$, ни один из членов которой не равен сумме нескольких других, такая что (при всех $n=1$, 2, $\ldots$)
Двадцать пять коротышек делят садовые участки в Цветочном городе. Каждый участок представляет собой квадрат $1\times1$ и все участки вместе составляют квадрат $5\times5$. Каждый коротышка находится в ссоре не более, чем с тремя другими коротышками. Докажите, что можно распределить…
Можно ли разбить множество всех целых чисел на три подмножества так, чтобы для любого целого $n$ чи́сла $n$, $n-50$, $n+1987$ принадлежали трём разным подмножествам?
В некотором царстве, некотором государстве, территория которого имеет форму квадрата со стороной 2 км, царь решает созвать всех жителей к 7 часам вечера к себе во дворец на бал. Для этого он в полдень посылает с поручением гонца, который может передать любое указание любому жителю, который в…
В семейном альбоме есть
На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины — его сын, а справа — его брат. Какое наименьшее количество различных людей может…
Сумма 100 натуральных чисел, каждое из которых не больше 100, равна 200. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел, сумма которых равна 100.
На плоскости расположено $N$ точек. Отметим все середины отрезков с концами в этих точках. Какое наименьшее количество точек плоскости может оказаться отмеченным?
Поправка
В формулировку задачи М480, опубликованной в № 12 за 1977 г., вкралась ошибка. Задачу М480 в) следует читать так: последовательность $C_n$ определяется условиями $C_1=2$, $C_{n+1}=[3C_n/2]$ для $n\ge1$; докажите,…
Полоска размерами $1\times n$ разбита на единичные квадраты. В квадраты записывают числа 1, 2, $\ldots$, $n$. Сначала в один какой-нибудь квадрат пишут число 1, затем число 2 записывают в один из соседних квадратов, затем число 3 — в один из соседних с уже занятыми…