Задача М633‍‍

Пусть $O$‍‍ — центр, $R$‍‍ — радиус окружности, $|OE|=a$‍.‍ Легко видеть (см. рисунок), что $S_{ABCD}=\dfrac{2R}{a}S_{\triangle OBD}$‍.‍ Следовательно, площадь четырёхугольника наибольшая, когда наибольшей является площадь треугольника $OBD$‍.‍ Треугольник $OBD$‍‍ равнобедренный, $|OB|=|OD|=R$‍,‍ $S_{\triangle OBD}=\dfrac{1}{2}R^2\sin\phi$‍,‍ где $\phi=BOD$‍.‍ Угол $\phi$‍‍ тем меньше, чем меньше длина хорды $BD$‍‍ или, соответственно, чем длиннее проведённый к этой хорде перпендикуляр $OH$‍.‍ Поскольку $|OH| \le |OE|=a$‍,‍ наименьшее значение $\phi=\phi_0$‍,‍ характеризуется тем, что отрезки $OH$‍‍ и $OE$‍‍ совпадают, что соответствует хорде $BD$‍,‍ перпендикулярной $AC$‍;‍ для этого значения $$ \cos \dfrac{\phi_0}{2}=\dfrac{a}{R}. $$

Итак, остаётся найти наибольшее значение площади треугольника $OBD$‍‍ при $\phi_0 \le \phi \lt \pi$‍.‍ Возможны два случая

1. Если $\phi_0 \le \dfrac{\pi}{2}$‍,‍ то максимум достигается при $\phi=\dfrac{\pi}{2}$‍.‍ В этом случае $$\begin{gather*} \dfrac{a}{R}=\cos \dfrac{\phi_0}{2} \ge \cos \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2},\\ a \ge \dfrac{R}{\sqrt{2}}, \end{gather*}$$ a искомая хорда $BD$‍,‍ стягивающая дугу в $90^{\circ}$‍,‍ должна отстоять от центра на расстояние $R/\sqrt{2}$‍,‍ т. е. должна касаться окружности с центром $O$‍‍ радиуса $R/\sqrt{2}$‍.‍
2. Если же $\phi_0 \gt \dfrac{\pi}{2}$‍,‍ что будет при $a \lt \dfrac{R}{\sqrt{2}}$‍,‍ то максимум площади достигается при $\phi=\phi_0$‍‍ — искомая хорда $BD$‍‍ должна быть перпендикулярна диаметру $AC$‍.‍