Задача М614‍‍

Для каждого натурального $n$‍‍ через $S(n)$‍‍ обозначим сумму цифр всех натуральных чисел от 1 до $n$‍‍ (в десятичной записи): $$ \begin{gather*} S(1)=1,\quad S(2)=3,\quad S(3)=6,\quad \ldots,\quad S(9)=45,\\ S(10)=46,\quad S(11)=48,\quad S(12)=51,\quad \ldots \end{gather*} $$

1. Найдите $S(100)$‍.‍
2. Докажите, что $S(10^k-1)=45k\cdot10^{k-1}$‍‍ для всех $k=1$‍,‍ 2, $\ldots$‍‍
3. Докажите, что для двузначного числа $\overline{ab}$‍‍ $$S(\overline{ab})=5a^2+ab+41a+\dfrac{b(b+1)}{2}.$$
4. Найдите аналогичную формулу для трёхзначных чисел.

5. Вычислите $S(1980)$‍.‍